ভাগ কাকে বলে – ভাজ্য, ভাজক, ভাগফল ও ভাগশেষ নির্নয়ের সুত্র, ধারণা, উদাহরণ ও বৈশিষ্ট্য?

ভাগ কাকে বলে : গনিতে ব্যবহৃত চারটি মৌলিক বেসিক গানিতিক অপারেশনের চতুর্থ বেসিক গানিতিক অপারেশন হল ভাগ। বাকি তিনটি গানিতিক অপারেশন হল যোগ, বিয়োগ ও গুন। গনিতে ভাগ বা বিভাজন একটি বীজগাণিতিক প্রক্রিয়া। ভাগকে ” ÷ ” প্রতীকের মাধ্যমে প্রকাশ করা হয়। অনেক সময় ভাগকে ” / ” প্রতীক দিয়েও প্রকাশ করা হয়।

ভাগের সাহায্যে একটি বড়ো সংখ্যার মধ্যে একটি ছোট সংখ্যা কত বার আছে, তা বার বার বিয়োগের মাধ্যমে নির্নয় করা হয়। তাই ভাগকে বিয়োগের সংক্ষিপ্ত রুপ বলা হয়। যেমন: 15 এর মধ্যে 3 কত বার আছে? এর জন্য 15 কে 3 দিয়ে ভাগ করতে হবে। 15 ÷ 3 = 5. অর্থাৎ, 15 এর মধ্যে 3, 5 বার আছে।

ভাগের মূল চারটি অংশ রয়েছে। যথা – ভাজ্য, ভাজক, ভাগফল এবং ভাগশেষ। যেমন : 16 এর মধ্যে 3, 5 বার বিয়োগ করার পর ও 1 অবশিষ্ট থাকে। এখানে, ভাজ্য = 16, ভাজক = 3, ভাগফল = 5 এবং ভাগশেষ = 1

ভাগ কাকে বলে – ভাজ্য, ভাজক, ভাগফল ও ভাগশেষ নির্নয়ের সুত্র, ধারণা, উদাহরণ ও বৈশিষ্ট্য?

আজকে এই টিউটোরিয়ালে আমরা ভাগ কাকে বলে, ভাগের কয়টি অংশ ও কি কি, ভাজ্য, ভাজক, ভাগফল ও ভাগশেষ কাকে বলে, ভাজ্য নির্নয়ের সুত্র, ভাজক নির্নয় এর সূত্র, ভাগশেষ ও ভাগফল নির্নয়ের সুত্র, ভাগের বৈশিষ্ট্য, ধারনা এবং বাস্তব জীবনে ভাগের ব্যবহার ইত্যাদি বিষয়গুলি বিস্তারিত ভাবে জানার চেষ্টা করবো।

তাই আমি তোমাদের সম্পুর্ন আর্টিকেল পড়ার অনুরোধ করছি। কারণ এই আর্টিকেলটি সম্পূর্ণ পড়ার পর ভাগের বিষয়ে ছোট বড়ো সব ধরনের সমস্যার সমাধান হয়ে যাবে।

ভাগ কি – What is Division?

ভাগ হল গুনের বিপরীত প্রক্রিয়া, তাই গুন করলে যেমন কোনো বস্তুর মান বৃদ্ধি পাই ঠিক একইভাবে ভাগ করলে বস্তুর মান হ্রাস পাই। যেমন : 10 কে 2 দিয়ে ভাগ করলে 5 হয়। অর্থাৎ মান হ্রাস পাচ্ছে।

ভাগকে বিয়োগের সংক্ষিপ্ত প্রক্রিয়া ও বলা হয়। কারণ বিয়োগ করার সময় আমরা একটা বড়ো সংখ্যা থেকে ছোট সংখ্যাকে কে বাদ দিয়ে থাকি। ভাগের ক্ষেত্রেও আমরা বড়ো সংখ্যা থেকে ছোট সংখ্যাকে বার বার বিয়োগ করে থাকি।

যেমন : 12 এর মধ্যে 4 কতবার আছে এর জন্য আমাদের 12 – 4 = 8, 8 – 4 = 4, 4 – 4 = 0 অর্থাৎ 12 থেকে তিনবার 4 বিয়োগ করা যাবে। কিন্তু বারবার বিয়োগ না করে 12 কে 4 দিয়ে ভাগ করলেই খুব সহজে বলতে পারি 12 এর মধ্যে 4, 3 বার আছে।

ভাগের অর্থ কি ?

ভাগের ইংরেজি হল Division. ভাগের অর্থ হল কোনো বস্তু বা সংখ্যাকে সমান ভাবে বন্টন করা বা বিভাজন করা। যেমন : 15 টি পেয়ারা তিন ভাইয়ের মধ্যে সমান ভাগে ভাগ করে দিলে, প্রত্যেক ভাই 5 টি করে পেয়ারা পাবে।

ভাগ কাকে বলে

ইতিমধ্যেই আমরা ভাগ কি, ভাগের অর্থ কি ইত্যাদি বিষয় গুলো জেনেছি। এখন আমরা জানব ভাগ কাকে বলে। নিম্নে ভাগের কয়েকটি সংজ্ঞা তুলে ধরা হল –

যে প্রক্রিয়ার সাহায্যে একটি বড়ো সংখ্যার মধ্যে একটি ছোট সংখ্যা কত বার আছে তা নির্ণয় করা হয়, তাকে ভাগ বা Division বলে।

বিয়োগের সংক্ষিপ্ত প্রক্রিয়াকে ভাগ বলা হয়।

একটি ক্ষুদ্রতম সংখ্যা অপর একটি বৃহত্তম সংখ্যার মধ্যে কতবার আছে তা নির্ণয় করার প্রক্রিয়াকে ভাগ বলে।

ভাগের উদাহরণ – Examples of Division

নিম্নে ভাগের কিছু উদাহরণ তুলে ধরা হল –

  • সাধারণ ভাগ : 10 ÷ 2 = 5
  • দশমিক সংখ্যার ভাগ : 8.4 ÷ 4 = 2.1
  • ভগ্নাংশের ভাগ : 1/2 ÷ 3/2 = 1/3
  • 15 টি আপেল 3 জনের মধ্যে বন্টন করলে, প্রত্যেকে পাবে = ১৫টি আপেল ÷ ৩ জন = ৫ টি আপেল।
  • একটি জিপগাড়ি 2 ঘন্টায় 120 কিমি পথ অতিক্রম করলে। গাড়ির গতিবেগ = 120 কিমি ÷ 2 ঘন্টা = 60 কিমি / ঘন্টা।

ভাগের গাণিতিক প্রকাশ – Mathematical expression of Division

যদি b কে c দিয়ে গুন্ করে a পাওয়া যায়। অর্থাৎ b ✕ c = a . যদি এখানে b ≠ 0 হয় , তবে a কে b দিয়ে ভাগ করলে c পাওয়া যাবে।

সুতরাং, আমরা বলতে পারি a ÷ b = c অথবা a /b = c.

এখানে a কে ভাজ্য, b কে ভাজক এবং c কে ভাগফল বলা হয়।

উদাহরণস্বরূপ, 10 ÷ 5 = 2 , যেহেতু 5 ✕ 2 = 10 এখানে 10 কে ভাজ্য, 5 কে ভাজক এবং 2 কে ভাগফল বলা হয়।

ভাগের প্রতীক – Symbol of Division

গনিতে গাণিতিক সমস্যা সমাধানের জন্য আমরা অসংখ্য প্রতীক বা চিহ্ন ব্যবহার করে থাকি। ভাগের প্রতীকটি ও গণিতে ব্যবহৃত চিহ্ন গুলির একটি। ভাগ করার সময় ব্যবহৃত প্রতীক বা চিহ্নটি হল ” ÷ “। এই চিহ্নটিকে ভাগের চিহ্ন বা Division sign বলা হয়।

” ÷ “এই চিহ্নটি একটি বস্তুকে সমান ভাগে ভাগ করার কাজে ব্যবহার করা হয়। যেমন: 15 টি আম 5 জন বন্ধুর মধ্যে সমান ভাগে ভাগ করলে প্রত্যেকে 3 টি করে আম পাবে। অর্থাৎ 15 ÷ 5 = 3.

এছাড়াও ভাগ কে ” / ” প্রতীক দিয়েও চিহ্নিত করা হয়। তবে প্রাথমিক গণিতে ” ÷ ” চিহ্নটি বেশি ব্যবহার করা হয়।

ভাগের কয়টি অংশ

ইতিমধ্যেই আমরা ভাগ কাকে বলে, ভাগের প্রতীক এবং ভাগের গাণিতিক প্রকাশ ইত্যাদি বিষয়গুলি বিস্তারিত ভাবে জেনেছি। এখন আমরা জানবো ভাগের কয়টি অংশ ও কি কি ?

ভাগের মূল চারটি অংশ রয়েছে। যথা –

  1. ভাজ্য ( Dividend )
  2. ভাজক ( Divisor )
  3. ভাগফল ( Quotient )
  4. ভাগশেষ ( Remainder )

ভাজ্য কাকে বলে ?

কোনো ভাগ অংকে যে সংখ্যাকে ভাগ করা হয়, তাকে ভাজ্য বা Dividend বলে।

যেমন : 12 ÷ 3 = 4, এখানে 12 কে ভাগ করা হয়েছে। সুতরাং, ভাজ্য = 12.

ভাজক কাকে বলে ?

কোনো ভাগ অংকে যে সংখ্যা দিয়ে ভাগ করা হয়, তাকে ভাজক বা Divisor বলে।

যেমন : 12 ÷ 3 = 4, এখানে 12 কে 3 দিয়ে ভাগ করা হয়েছে। সুতরাং, ভাজক = 3.

ভাগফল কাকে বলে ?

কোনো ভাগ অংকে ভাজ্য কে ভাজক দিয়ে ভাগ করার পর যে ফল পাওয়া যায়, তাকে ভাগফল বা Quotient বলে।

যেমন : 12 ÷ 3 = 4, এখানে ভাজ্য 12 কে ভাজক 3 দিয়ে ভাগ করার পর ফল হিসাবে 4 পাওয়া গেছে । সুতরাং, ভাগফল = 4.

ভাগশেষ কাকে বলে ?

কোনো ভাগ অংকে ভাজ্য কে ভাজক দিয়ে ভাগ করার পর যে অবশিষ্ট অংশ থাকে, তাকে ভাগশেষ বা Remainder বলে।

যেমন : ভাজ্য 13 কে ভাজক 3 দিয়ে ভাগ করলে 4 ভাগফল পাওয়া যায় এবং 1 অবশিষ্ট থাকে। অর্থাৎ ভাগশেষ = 1.

ভাজ্য ভাজক ভাগফল ভাগশেষ এর সূত্র

ভাজ্য, ভাজক, ভাগফল ও ভাগশেষের সংজ্ঞানুযায়ী, যে সংখ্যা কে ভাগ করা হয় তাকে ভাজ্য , যে সংখ্যা দিয়ে ভাগ করা হয় তাকে ভাজক, ভাগ করার পর যে ফল পাওয়া যায় তাকে ভাগফল এবং ভাগ করার পর অবশিষ্ট অংশকে ভাগশেষ বলে।

সংজ্ঞাগুলি ভালো ভাবে লক্ষ্য করলে দেখা যাবে সংজ্ঞাগুলির মধ্যেই ভাজ্য ভাজক ভাগফল ভাগশেষ এর সম্পর্ক কি তা লুকিয়ে আছে।

ভাজ্য, ভাজক, ভাগফল ও ভাগশেষ এর সম্পর্ক হল – ভাজ্য = ভাজক х ভাগফল + ভাগশেষ।

ভাজ্য নির্ণয়ের সূত্র কি ?

কোনো প্রশ্নে ভাজক, ভাগফল ও ভাগশেষের মান অথবা সম্পর্ক দেওয়া থাকলে , ভাজ্য নির্ণয়ের সূত্রটি ব্যবহার করে খুব সহজে ভাজ্য নির্ণয় করা যাবে।

ভাজ্য নির্ণয়ের সূত্র টি হল : ভাজ্য = ভাজক х ভাগফল + ভাগশেষ।

প্রশ্ন : কোনো ভাগ অংকে ভাজক = 5, ভাগফল = 3 এবং ভাগশেষ = 2 হলে, ভাজ্য কত ?

উত্তর : আমরা জানি, ভাজ্য = ভাজক х ভাগফল + ভাগশেষ = 5 х 3 + 2 = 17

যদি ভাগশেষ শূন্য হয়, তবে ভাজ্য নির্ণয়ের সূত্র টি হল : ভাজ্য = ভাজক х ভাগফল

প্রশ্ন : কোনো ভাগ অংকে ভাজক = 8, ভাগফল = 6 হলে, ভাজ্য কত ?

উত্তর : আমরা জানি, ভাজ্য = ভাজক х ভাগফল = 8 х 6 = 48.

ভাজক নির্ণয়ের সূত্র কি ?

কোনো প্রশ্নে ভাজ্য, ভাগফল ও ভাগশেষের মান অথবা এদের মধ্যে সম্পর্ক দেওয়া থাকলে, ভাজক নির্ণয়ের সূত্রটি ব্যবহার করে খুব সহজে ভাজক নির্ণয় করা যাবে।

ভাজক নির্ণয়ের সূত্রটি হল: ভাজক = ( ভাজ্য – ভাগশেষ ) ÷ ভাগফল।

যদি ভাগশেষ শূন্য হয়, তবে ভাজক নির্ণয় এর সূত্রটি হল: ভাজক = ভাজ্য ÷ ভাগফল।

প্রশ্নঃ কোনো ভাগ অংকে ভাজ্য = 25, ভাগফল = 4 এবং ভাগশেষ = 1 হলে, ভাজক নির্ণয় করো ?

উত্তরঃ আমরা জানি, ভাজক = ( ভাজ্য – ভাগশেষ ) ÷ ভাগফল = ( 25 – 1) ÷ 4 = 6.

প্রশ্নঃ কোনো ভাগ অংকে ভাজ্য = 25, ভাগফল = 5 হলে, ভাজক নির্ণয় করো ?

উত্তরঃ আমরা জানি, ভাজক = ভাজ্য ÷ ভাগফল = 25 ÷ 5 = 5

ভাগফল নির্ণয়ের সূত্র ?

কোনো প্রশ্নে ভাজ্য, ভাজক ও ভাগশেষের মান অথবা এদের মধ্যে সম্পর্ক দেওয়া থাকে, তবে ভাগফল নির্ণয়ের সূত্রটি ব্যবহার করে খুব সহজে ভাগফল নির্ণয় করা যাবে।

ভাগফল নির্ণয়ের সূত্রটি হল: ভাগফল = ( ভাজ্য – ভাগশেষ ) ÷ ভাজক

যদি ভাগশেষ শূন্য হয়, তবে ভাগফল নির্ণয় এর সূত্রটি হল: ভাগফল = ভাজ্য ÷ ভাজক

প্রশ্নঃ কোনো ভাগ অংকে ভাজ্য = ২৫, ভাজক = ৪ এবং ভাগশেষ = ১ হলে, ভাজক নির্ণয় করো ?

উত্তরঃ আমরা জানি, ভাগফল = ( ভাজ্য – ভাগশেষ ) ÷ ভাজক = ( 25 – 1 ) ÷ 4 = 6.

প্রশ্নঃ কোনো ভাগ অংকে ভাজ্য = ২৫, ভাজক = ৫ হলে, ভাজক নির্ণয় করো ?

উত্তরঃ আমরা জানি, ভাগফল = ভাজ্য ÷ ভাজক = 25 ÷ 5 = 5.

ভাগশেষ নির্ণয়ের সূত্র কি ?

যদি কোনো প্রশ্নে ভাজ্য, ভাজক ও ভাগফলের মান অথবা এদের মধ্যে সম্পর্ক দেওয়া থাকে, তবে ভাগশেষ নির্ণয়ের সূত্রটি ব্যবহার করে খুব সহজে ভাগশেষ নির্ণয় করা যাবে।

ভাগশেষ নির্ণয়ের সূত্রটি হল : ভাগশেষ = ভাজ্য – ( ভাজক х ভাগফল )

প্রশ্নঃ কোনো ভাগ অংকে ভাজ্য = 41, ভাজক = 7 এবং ভাগফল = 5 হলে, ভাগশেষের মান নির্ণয় করো ?

উত্তরঃ আমরা জানি, ভাগশেষ = ভাজ্য – ( ভাজক х ভাগফল ) = 41 – ( 7 х 5 ) = 41 – 35 = 6.

ভাগের বৈশিষ্ট্য – Property of Division

ভাগের কিছু গুরুত্বপূর্ণ বৈশিষ্ট্য নিম্নে তুলে ধরা হল –

  • দুটি পূর্ণ সংখ্যার ভাগফল সর্বদা পূর্ণ সংখ্যা হয় না। যেমন : 3 ÷ 2 = 1.5 , এখানে 2 ও 3 পূর্ণ সংখ্যা কিন্তু 1.5 পূর্ণসংখ্যা নয়।
  • যে কোনো বাস্তব সংখ্যা কে 1 দিয়ে ভাগ করলে ভাগফল সর্বদা ওই সংখ্যাটি হবে। যেমন : 5 ÷ 1= 5, 4 ÷ 1 =4.
  • যদি কোনো সংখ্যা কে ওই সংখ্যা দিয়ে ভাগ করা হয়, তবে ভাগফল সর্বদা 1 হবে। যেমন : 5 ÷ 5 = 1, 3 ÷ 3 = 1.
  • 0 কে যেকোনো সংখ্যা দিয়ে ভাগ করা হোক না কেন ভাগফল সর্বদা 0 হবে। যেমন : 0 ÷ 1 = 0, 0÷2=0, 0÷3=0.
  • 0 দিয়ে কোনো সংখ্যাকে ভাগ করা যায় না অর্থাৎ ভাগফল অর্থহীন। অর্থাৎ, a ÷ 0 = অসঙ্গত বা অর্থহীন, এখানে এ যেকোনো বাস্তব সংখ্যা।

বাস্তব জীবনে ভাগের ব্যবহার

বাস্তব জীবনে ভাগের অসংখ্য ব্যবহার রয়েছে। নিম্নে ভাগের কিছু গুরুত্বপূর্ণ ব্যবহার তুলে ধরা হলো –

  • বীজগণিতে সমীকরণ ও অসমতা সমাধানের সময় আমরা ভাগের ব্যবহার করে থাকি।
  • কোনো জ্যামিতিক চিত্রের পরিধি, ক্ষেত্রফল এবং আয়তন নির্ণয় করার সময় ভাগের ব্যবহার করা হয়।
  • ডেটা বিশ্লেষণ এর সময় ভাগের ব্যহার করা হয়।
  • বিনিয়োগে এবং সরল সুদ , সুদের হার ও লভ্যংশ নির্ণয় করতে আমরা ভাগের ব্যবহার করে থাকি।
  • বিল্ডিং ডিজাইন এবং স্পেস প্লানিং করতে ভাগের ব্যবহার হয়ে থাকে।
  • কেনা কাটা করার সময় খরচ, ডিসকাউন্ট গণনা করতে আমরা ভাগের ব্যবহার করে থাকি।
  • বিশেষ করে কোনো বস্তুকে সমান ভাগে ভাগ করার জন্য আমরা ভাগের ব্যবহার করে থাকি।

ভাগের বিপরীত প্রক্রিয়া কে কি বলা হয় ?

ভাগের বিপরীত প্রক্রিয়া কে গুন্ বলা হয়।

আশাকরি ভাগ কাকে বলে এই আর্টিকেলটি পড়ার পর ভাগের সংজ্ঞা, ভাজ্য, ভাজক, ভাগফল এবং ভাগশেষ এর বিষয়ে প্রতিটি বিষয় ভালোভাবে বুঝতে পেরেছো। তার পরও যদি কোনো প্রশ্ন থাকে, তবে অবশ্যই কমেন্ট করে জানাবে। ধন্যবাদ। ..

Also Reads:

Leave a Comment