বিভাজ্যতার নিয়ম হল এমন একটি সংক্ষিপ্ত ও কার্যকর প্রক্রিয়া যার সাহায্যে কোনো সংখ্যা কে ভাগ না করেই , তার অঙ্কগুলি পরীক্ষা করে খুব সহজে বলতে পারি একটি সংখ্যা অন্য একটি সংখ্যা দ্বারা সম্পূর্ণরূপে বিভাজ্য কিনা।
গণিতের বিভিন্ন সমস্যা দ্রুত সমাধান করার জন্য আমরা বিভিন্ন ধরণের কৌশল ব্যবহার করে থাকি। একইভাবে, বিভাজন পদ্ধতি সহজ এবং দ্রুত করার জন্য আমরা বিভাজ্যতার নিয়মগুলি ব্যবহার করে থাকি। ছাত্রছাত্রীরা 1 থেকে 25 পর্যন্ত বিভাজ্যতার নিয়মগুলি শিখলে, তারা আরও ভালোভাবে বিভাজন সমস্যাগুলির সমাধান করতে পারবে।
উদাহরণস্বরূপ, 7 -এর বিভাজ্যতার নিয়ম আমাদের জানতে সাহায্য করে যে কোন সংখ্যাগুলিকে 7 দিয়ে সম্পূর্ণরূপে ভাগ করা যাবে ৷ 2, 3, 4, 5 এবং 10 এর মতো সংখ্যার বিভাজ্যতার নিয়ম সহজেই বোঝা যায়। কিন্তু 7, 11 এবং 13 এই সংখ্যাগুলির নিয়ম একটু জটিল এবং গভীরভাবে বুঝতে হবে।
1 থেকে 125 পর্যন্ত বিভাজ্যতার নিয়ম – Divisibility Rules in Bengali
আজকে এই টিউটোরিয়ালের মাধ্যমে আমরা বিভাজ্যতা কি, বিভাজ্যতা কাকে বলে এবং 1 থেকে 25 পর্যন্ত সংখ্যাগুলির বিভাজ্যতার নিয়মগুলি উদাহরণের সাথে বিস্তারিত ভাবে জানার চেষ্টা করবো।
বিভাজ্যতার নিয়ম কি ?
বিভাজ্যতার নিয়ম হল একটি সংখ্যা দ্বারা অপর একটি সংখ্যা সম্পূর্ণরূপে বিভাজ্য কিনা তা যাচাই করার একটি গাণিতিক কৌশল। আমরা কিছু উদাহরণের মাধ্যমে বিষয়টি ভালো ভাবে বোঝার চেষ্টা করবো।
মনে করো, তোমার কাছে 7 টি আম আছে ,তুমি কি 3 জন বন্ধুর মধ্যে 7 টি আম সমান ভাগে ভাগ করতে পারবে ? এখন প্রশ্ন হল তুমি কিভাবে যাচাই করবে ? এর জন্য তোমাকে পরীক্ষা করে দেখতে হবে 7 সংখ্যাটি 3 দ্বারা বিভাজ্য হবে কিনা।
অর্থাৎ 3 এর ঘরের নামতায় 7 উপস্থিত আছে কি তা যাচাই করে দেখতে হবে। এবং খুব সহজে বলতে পারবে 7 টি আম 3 জন বন্ধুর মধ্যে সমানভাবে ভাগ করা যাবে কি যাবে না।
যদি তুমি 372 টি চকোলেট 6 জন বন্ধুর মধ্যে সমান ভাগে ভাগ করা যাবে কিনা যাচাই করো। তবে 6 এর ঘরের নামতায় 372 সংখ্যাটি খুঁজে পাওয়া সময়সাপেক্ষ হবে।
তাই এই ধরণের বড়ো সংখ্যা হিসাব করার জন্য আমরা বিভাজ্যতার গাণিতিক কৌশল বা নিয়মগুলি ব্যবহার করে থাকি। এই ধরণের বড়ো বড়ো সমস্যাগুলি বিভাজ্যতার নিয়মের সাহায্যে খুব কম সময়ে সমাধান করতে পারবে।
বিভাজ্যতার নিয়ম বলতে কি বোঝো ?
বিভাজ্যতা নিয়ম গণিতের এমন একটি গাণিতিক কৌশল যার সাহায্যে খুব সহজে এবং অল্প সময়ে আমরা বলতে পারি একটি বড়ো সংখ্যা অন্য একটি ছোট সংখ্যা দিয়ে বিভাজ্য হবে কি হবে না।
দিয়ে বিভাজ্য কথার অর্থ হল বড়ো সংখ্যাটি ছোট সংখ্যাটি দিয়ে সম্পূর্ণরূপে বিভাজ্য হবে। অর্থাৎ কোনো ভাগশেষ থাকবে না এবং ভাগফল একটি পূর্ণ সংখ্যা হবে।
1 থেকে 125 পর্যন্ত সংখ্যার বিভাজ্যতার নিয়ম -Divisibility rules for 1 – 125
নিম্নে 1 থেকে 125 পর্যন্ত সংখ্যা বিভাজ্যতার নিয়মগুলি বিস্তারিত ভাবে আলোচনা করা হল –
1 দ্বারা বিভাজ্যতার নিয়ম
1 দিয়ে বিভাজ্যতার কোনো শর্ত নেই। প্রতিটি সংখ্যায় 1 দিয়ে বিভাজ্য। অর্থাৎ সংখ্যাটি যতই ছোট অথবা বড়ো হোক না কেন 1 দিয়ে বিভাজ্য হবে। যেমন : 2, 3, 456, 897,.. ইত্যাদি সংখ্যা 1 দিয়ে বিভাজ্য।
2 দ্বারা বিভাজ্যতার নিয়ম
কোনো সংখ্যার শেষ অঙ্ক 0 অথবা জোড় হলে, সংখ্যাটি 2 দ্বারা বিভাজ্য হবে। অর্থাৎ কোনো সংখ্যার শেষে 0, 2, 4, 6, 8 থাকে, তবে সংখ্যাটি 2 দিয়ে বিভাজ্য হবে।
যেমন : 320, 232, 764, 376 এবং 438 এই পাঁচটি সংখ্যার শেষের অঙ্ক যথাক্রমে 0, 2, 4, 6, 8। তাই সংখ্যাগুলি 2 দিয়ে সম্পূর্ণরূপে বিভাজ্য।
3 দ্বারা বিভাজ্যতার নিয়ম
কোনো সংখ্যার অংকগুলির যোগফল 3 দ্বারা বিভাজ্য হলে, সংখ্যাটিও 3 দিয়ে বিভাজ্য হবে। অর্থাৎ, অংকগুলির যোগফল কে 3 দিয়ে ভাগ করা গেলে সংখ্যাটিকে ও 3 দিয়ে ভাগ করা যাবে।
উদাহরণস্বরূপ, 276 সংখ্যাটির অঙ্কগুলির যোগ ফল ( 2 + 7 + 6 ) = 15 এবং 15 সংখ্যাটি 3 দ্বারা বিভাজ্য। সুতরাং , 276 সংখ্যাটি 3 দ্বারা সম্পূর্ণরূপে বিভাজ্য হবে।
308 সংখ্যাটির অঙ্কগুলির যোগফল = 3+0+8= 11, আর এই 11 সংখ্যাটিকে 3 দিয়ে ভাগ করা যাবে না। সুতরাং 308 সংখ্যাটি 3 দ্বারা বিভাজ্য নয়।
4 দ্বারা বিভাজ্যতার নিয়ম
কোনো সংখ্যার শেষ দুটি অঙ্ক ‘ 0 ‘ অথবা শেষ দুটি অঙ্ক দ্বারা গঠিত সংখ্যা 4 দ্বারা বিভাজ্য হলে। সংখ্যাটিও 4 দ্বারা বিভাজ্য হবে।
উদাহরণস্বরূপ, 100, 400 , 4400, 4500, 163000 and 9570000 -এই সংখ্যা গুলির শেষ দুটি অংক শূন্য ,তাই সংখ্যা গুলি 4 দ্বারা বিভাজ্য।
7524 সংখ্যাটি 4 দ্বারা বিভাজ্য হবে। কারণ শেষ 2 টি অংক দ্বারা গঠিত সংখ্যা হল 24 আর 24 সংখ্যাটি 4 দিয়ে বিভাজ্য। সুতরাং 7524 সংখ্যাটি 4 দ্বারা বিভাজ্য হবে।
5 দ্বারা বিভাজ্যতার নিয়ম
যদি কোনো সংখ্যার শেষ অংক বা একক স্থানীয় অংক 0 অথবা 5 হয়। তবে সংখ্যাটি 5 দ্বারা বিভাজ্য হবে।
উদাহরণ : 280 সংখ্যাটি 5 দ্বারা বিভাজ্য কারণ 280 এর এককের ঘরে 0 রয়েছে।
35, 45, 3465, 56675, ..ইত্যাদি সংখ্যাগুলিও 5 দ্বারা বিভাজ্য কারণ এদের শেষ অংক বা একক স্থানীয় অংক 5.
6 দ্বারা বিভাজ্যতার নিয়ম
6 কে দুটি মৌলিক সংখ্যার গুন্ 2✕3 আকারে লেখা যায়। তাই যদি কোনো সংখ্যাকে 2 এবং 3 দিয়ে ভাগ করা যায়, তবে সেই সংখ্যাটি 6 দ্বারা বিভাজ্য হবে।
অর্থাৎ, কোনো সংখ্যার শেষ অঙ্কটি জোড় এবং অংকগুলির যোগফল ৩ দিয়ে বিভাজ্য হলে। সংখ্যাটি ৬ দ্বারা বিভাজ্য হবে।
উদাহরণস্বরূপ, 18 এর শেষ অংক জোড়, তাই 18 সংখ্যাটি 2 দিয়ে বিভাজ্য এবং অংকগুলির যোগফল 1+8= 9, 3 দিয়ে বিভাজ্য। অর্থাৎ 18 সংখ্যাটি 2 ও 3 দিয়ে বিভাজ্য, সুতরাং 18 সংখ্যাটি 6 দ্বারা বিভাজ্য হবে।
7 দ্বারা বিভাজ্যতার নিয়ম
কোনো সংখ্যা 7 দ্বারা বিভাজ্য হবে কিনা তা যাচাই করার জন্য প্রথমে একক স্থানের অঙ্ককে 2 দিয়ে গুন্ করতে হবে। তারপর অবশিষ্ট অঙ্ক দ্বারা গঠিত সংখ্যা থেকে গুনফল কে বিয়োগ করতে হবে। বিয়োগফল 0 অথবা 7এর গুণিতক হয়, তবে সংখ্যাটি 7 দিয়ে বিভাজ্য হবে।
উদাহরণ: যাচাই করো 658 সংখ্যাটি কি 7 দ্বারা বিভাজ্য হবে ?
উত্তর : প্রথমে unit digit 8 কে 2 দিয়ে গুন্ করলাম 8 x 2 = 16
তারপর অবশিষ্ট অংক দ্বারা গঠিত সংখ্যা 65 থেকে গুনফল 16 বিয়োগ করলাম 65 – 16 = 49.
বিয়োগফল 49 হল 7 এর গুণিতক।
সুতরাং, 658 সংখ্যাটি 7 দ্বারা বিভাজ্য।
8 দ্বারা বিভাজ্যতার নিয়ম
যদি কোনো সংখ্যার শেষ তিনটি অংক শূন্য অথবা শেষ তিনটি অংক দিয়ে গঠিত সংখ্যা 8 দ্বারা বিভাজ্য হয়। তবে সংখ্যাটি ও 8 দ্বারা বিভাজ্য হবে।
উদাহরণস্বরূপ, 1000, 4000 , 44000, 45000, 163000 and 9570000 -এই সংখ্যা গুলির শেষ তিনটি অংক শূন্য ,তাই সংখ্যা গুলি দ্বারা বিভাজ্য।উদাহরণস্বরূপ, 1000, 4000 , 44000, 45000, 163000 and 9570000 -এই সংখ্যা গুলির শেষ তিনটি অংক শূন্য ,তাই সংখ্যা গুলি
75248 সংখ্যাটি 8 দ্বারা বিভাজ্য হবে। কারণ শেষ 3 টি অংক দ্বারা গঠিত সংখ্যা হল 248 আর 248 সংখ্যাটি 8 দ্বারা বিভাজ্য।সুতরাং 75248 সংখ্যাটি 8 দ্বারা বিভাজ্য হবে।
9 দ্বারা বিভাজ্যতার নিয়ম
কোনো সংখ্যার অংকগুলির যোগফল 9 দ্বারা বিভাজ্য হলে, সংখ্যাটিও 9 দ্বারা বিভাজ্য হবে। অর্থাৎ, অংকগুলির যোগফল কে 9 দিয়ে ভাগ করা গেলে সংখ্যাটিকে ও 9 দিয়ে ভাগ করা যাবে।
উদাহরণস্বরূপ, 2763 সংখ্যাটির অঙ্কগুলির যোগ ফল ( 2 + 7 + 6 + 3 ) = 18 এবং 18 সংখ্যাটি 9 দ্বারা বিভাজ্য। সুতরাং , 2763 সংখ্যাটিও দ্বারা সম্পূর্ণরূপে বিভাজ্য হবে।
308 সংখ্যাটির অঙ্কগুলির যোগফল = 3+0+8= 11, আর এই 11 সংখ্যাটিকে 9 দিয়ে ভাগ করা যাবে না। সুতরাং 308 সংখ্যাটি 9 দ্বারা বিভাজ্য নয়।
76356 সংখ্যাটির অঙ্কগুলির যোগ ফল ( 7 + 6 + 3 + 5 + 6 ) = 27 এবং 27 সংখ্যাটি 9 দ্বারা বিভাজ্য। অতএব 76356 সংখ্যাটি 9 দিয়ে বিভাজ্য হবে।
10 দ্বারা বিভাজ্যতার নিয়ম
কোনো সংখ্যার একক স্থানীয় অঙ্ক 0 হলে সংখ্যাটি 10 দ্বারা বিভাজ্য হবে। উদাহরণ : 10, 3450, 5460, 10340, …. ইত্যাদি সংখ্যাগুলি কে 10 দিয়ে ভাগ করা যায়। কারণ এদের একক স্থানে 0 রয়েছে।
11 দ্বারা বিভাজ্যতার নিয়ম
কোনো সংখ্যা 11 দ্বারা বিভাজ্য হবে কিনা তা যাচাই করার জন্য প্রথমে সংখ্যাটির জোড় ও বিজোড় স্থানের অঙ্কগুলির যোগফল নির্ণয় করতে হবে। তারপর যোগফলের বিয়োগফল নির্ণয়ও করতে হবে। বিয়োগফল যদি 0 অথবা 11 এর গুণিতক হয় , তবে সংখ্যাটি 11 দ্বারা বিভাজ্য হবে।
উদাহরণস্বরূপ, 2865423-সংখ্যাটির জোড় স্থানের অংকগুলির যোগফল = (2+5+8) = 15 এবং বিজোড় স্থানের অংকগুলির যোগফল = (3+4+6+2) = 15. যোগফলের বিয়োগফল = 15 – 15 = 0. সুতরাং , 2865423 সংখ্যাটি 11 দ্বারা বিভাজ্য।
Even place ও odd place digit নির্ণয় করার সময় ডানদিক থেকে বামদিকে যেতে হবে।
12 দ্বারা বিভাজ্যতার নিয়ম
12 কে দুটি পরস্পর মৌলিক সংখ্যার গুন্ 4✕3 আকারে লেখা যায়। তাই যদি কোনো সংখ্যাকে 3 এবং 4 দিয়ে ভাগ করা যায়, তবে সেই সংখ্যাটি 12 দ্বারা বিভাজ্য হবে।
উদাহরণস্বরূপ, 324 এর শেষ দুটি অংক দ্বারা গঠিত সংখ্যা 24, 4 দিয়ে বিভাজ্য তাই 324 সংখ্যাটি 4 দিয়ে বিভাজ্য এবং অংকগুলির যোগফল 3+2+4= 9, 3 দিয়ে বিভাজ্য। অর্থাৎ 324 সংখ্যাটি 3 দিয়ে বিভাজ্য। সুতরাং 324 সংখ্যাটি 12 দ্বারা বিভাজ্য হবে।
14 দ্বারা বিভাজ্যতার নিয়ম
14 কে দুটি পরস্পর মৌলিক সংখ্যার গুন্ 7✕2 আকারে লেখা যায়। তাই যদি কোনো সংখ্যাকে 7 এবং 2 দিয়ে ভাগ করা যায়, তবে সেই সংখ্যাটি 14 দ্বারা বিভাজ্য হবে।
উদাহরণস্বরূপ, 1232 সংখ্যাটি 7 ও 2 দিয়ে বিভাজ্য ,তাই 1232 সংখ্যাটি 14 দ্বারা বিভাজ্য হবে।
15 দ্বারা বিভাজ্যতার নিয়ম
15 কে দুটি পরস্পর মৌলিক সংখ্যার গুন্ 5✕3 আকারে লেখা যায়। তাই যদি কোনো সংখ্যাকে 5 এবং 3 দিয়ে ভাগ করা যায়, তবে সেই সংখ্যাটি 15 দ্বারা বিভাজ্য হবে।
উদাহরণস্বরূপ, 45 সংখ্যাটি 5 ও 3 দিয়ে বিভাজ্য। অতএব 45 সংখ্যাটি 15 দ্বারা বিভাজ্য।
21 দ্বারা বিভাজ্যতার নিয়ম
21 কে দুটি পরস্পর মৌলিক সংখ্যার গুন্ 7 ✕ 3 আকারে লেখা যায়। তাই যদি কোনো সংখ্যাকে 7 এবং 3 দিয়ে ভাগ করা যায়, তবে সেই সংখ্যাটি 21 দ্বারা বিভাজ্য হবে
উদাহরণস্বরূপ, 84 সংখ্যাটি 3 এবং 7 উভয় সংখ্যা দিয়ে বিভাজ্য, 84 সংখ্যাটি 21 দ্বারা বিভাজ্য হবে।
22 দ্বারা বিভাজ্যতার নিয়ম
22 কে দুটি পরস্পর মৌলিক সংখ্যার গুন্ 11 *2 আকারে লেখা যায়। তাই যদি কোনো সংখ্যাকে 11 এবং 2 দিয়ে ভাগ করা যায়, তবে সেই সংখ্যাটি 22 দ্বারা বিভাজ্য হবে।
উদাহরণস্বরূপ, 198 সংখ্যাটি 11 এবং 2 উভয় সংখ্যা দিয়ে বিভাজ্য। সুতরাং, 198 সংখ্যাটি 22 দ্বারা বিভাজ্য হবে।
25 দ্বারা বিভাজ্যতার নিয়ম
যদি কোনো সংখ্যার শেষ দুটি অঙ্ক শূন্য অথবা 25 এর গুণিতক হয়, তবে সংখ্যাটি 25 দ্বারা বিভাজ্য হবে। অর্থাৎ কোনো সংখ্যার শেষের দুটি অংক 00, 25, 50 ও 75 থাকে, তবে সংখ্যাটি 25 দ্বারা বিভাজ্য হবে। যেমন- 500, 1075, 1275, 13550 ইত্যাদি সংখ্যা গুলি 25 দিয়ে বিভাজ্য।
125 দ্বারা বিভাজ্যতার নিয়ম
যদি কোনো সংখ্যার শেষ তিনটি অংক শূন্য অথবা 125 এর গুণিতক হয়, তবে সংখ্যাটি 125 দ্বারা বিভাজ্য হবে। যেমন : 245000, 234125, 2345625 ইত্যাদি সংখ্যাগুলি 125 দ্বারা বিভাজ্য।
কিছু গুরুত্বপূর্ণ সংখ্যার বিভাজ্যতার নিয়ম
নিম্নে কিছু গুরুত্বপূর্ণ বিভাজ্যতার নিয়ম তুলে ধরা হল –
- পর পর দুটি সংখ্যার গুনফল সর্বদা 2 দ্বারা বিভাজ্য হবে। যেমন : 1 ✕ 2 = 2, 2 দিয়ে বিভাজ্য।
- পর পর তিনটি সংখ্যার গুনফল সর্বদা 6 দ্বারা বিভাজ্য হবে। যেমন : 1 ✕ 2 ✕ 3 = 6, 6 দ্বারা বিভাজ্য।
- পর পর চারটি সংখ্যার গুনফল সর্বদা 24 দ্বারা বিভাজ্য হবে। যেমন : 1 ✕ 2 ✕ 3 ✕ 4 = 24, 24 দ্বারা বিভাজ্য।
- পর পর পাঁচটি সংখ্যার গুনফল সর্বদা 120 দ্বারা বিভাজ্য হবে। যেমন : 1✕2✕3✕4✕5 = 120, 120 দ্বারা বিভাজ্য।
- যদি কোনো 6 অঙ্ক বিশিষ্ট সংখ্যা একটি অঙ্ক দিয়ে গঠিত হয় ,তাহলে সংখ্যাটি 3, 7, 11, 13, 37, 39 দিয়ে বিভাজ্য হবে। যেমন: 222222, 333333, 666666, 888888 ইত্যাদি সংখ্যাগুলি 3, 7, 11, 13, 37, 39 দ্বারা বিভাজ্য হবে।
- যদি কোনো দুটি অঙ্ক তিন বার লিখে 6-অংকের সংখ্যা গঠিত হয়। তবে সংখ্যাটি 3, 7,13, 37, 39 দিয়ে বিভাজ্য হবে। যেমন: 212121, 171717, 252525 ইত্যাদি সংখ্যাগুলি 3, 7,13, 37, 39 দিয়ে বিভাজ্য হবে।
Also Reads :
- মৌলিক সংখ্যা কাকে বলে | 1-100 পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা কয়টি ?
- স্থানীয় মান ও প্রকৃত মান কাকে বলে – Place value and Face value in Bengali
- অংক কাকে বলে – অংক কত প্রকার ও কি কি?
- মূলদ সংখ্যা কাকে বলে – দুটি মূলদ সংখ্যার মধ্যে মূলদ সংখ্যা বের করার নিয়ম।