ভগ্নাংশ কাকে বলে: গণিতের একটি মৌলিক এবং গুরুত্বপূর্ণ বিষয় হল ভগ্নাংশ। ভগ্নাংশ শব্দটি ভাগ এবং অংশ দুটি শব্দ মিলিত হয়ে তৈরী হয়েছে। সুতরাং ভগ্নাংশের সংজ্ঞা হিসাবে আমরা বলতে পারি ভাগের অংশকে ভগ্নাংশ বলা হয়। অন্যভাবে বলতে পারি একটি সম্পূর্ণ অংশের ক্ষুদ্রতম ভাগ কে ভগ্নাংশ বলা হয়।
উদাহরস্বরূপ, মনে করুন রামের বাবা বাজার থেকে ৫ টি আম ক্রয় করে নিয়ে এসেছে। তারমধ্যে রাম ২ টি এবং রামের বোন ৩ টি আম খেয়েছে। এখন যদি প্রশ্ন করা হয় রাম ও রামের বোন কত অংশ আম খেয়েছে।
আমরা স্পষ্টভাবে দেখতে পাচ্ছি রাম ৫ টি আমের মধ্যে ২ টি আম এবং তার বোন ৫ টি আমের মধ্যে ৩ টি আমি খেয়েছে। সুতরাং, রাম মোট আমের ২/৫ অংশ এবং তার বোন মোট আমের ৩/৫ অংশ খেয়েছে।
এখন থেকে আর ও বোঝা যায় যে, উপরে ক্ষুদ্রতম সংখ্যা এবং নিচে সম্পূর্ণ অংশ লিখে ভগ্নাংশ কে প্রকাশ করা হয়। ভগ্নাংশের উপরের অংশকে লব এবং নিচের অংশ কে হর বলা হয়।
ভগ্নাংশ কাকে বলে | ভগ্নাংশ কত প্রকার ও কি কি?
আজকের পোস্টের টাইটেল দেখা আশাকরি বুঝতে পেরেছেন, আজকে আমরা ভগ্নাংশ কাকে বলে, ভগ্নাংশ কত প্রকার, ভগ্নাংশের বৈশিষ্ট্য, যোগ, বিয়োগ, গুণ ও ভাগ এবং ব্যবহার ইত্যাদি বিষয়গুলো বিস্তারিত ভাবে জানার চেষ্টা করবো।
ভগ্নাংশের সংক্ষিপ্ত ইতিহাস
ভগ্নাংশ বলতে একটি সম্পূর্ণ অংশের ক্ষুদ্রতম অংশকে বোঝায়। ভগ্নাংশ এর ইংরেজি হল Fraction. এই Fraction শব্দটি ল্যাটিন শব্দ “Fractio” থেকে নেওয়া হয়েছে যার ইংরেজি অর্থ হল ” breaking down ” অথবা ” division “. সুতরাং ভগ্নাংশ কথাটির অর্থ হল “বিচ্ছিন্ন বা ভাঙ্গা অংশ” অথবা ‘ ‘ভাগের অংশ ‘।
প্রাচীন রোম সভ্যতায় ভগ্নাংশকে কেবলমাত্র সম্পূর্ণ অংশের ক্ষুদ্রতম অংশ হিসাবেই বর্ণনা করা হত। তবে প্রাচীন মিশরীয় সভ্যতায় মিশরীয়রা বিভিন্ন গাণিতিক সমস্যা সমাধান করার জন্য ভগ্নাংশের ব্যবহার করতো। বিশেষ করে খাদ্যদ্রব ভাগ, বিভিন্ন জিনিসপত্র এক জায়গা থেকে অন্য জায়গায় সরবরাহ এবং বুলিয়ন মুদ্রার হিসাবের জন্য তারা ভগ্নাংশের ব্যবহার করত।
ভারতবর্ষে প্রথম ভগ্নাংশগুলিকে প্রকাশ করার জন্য ভগ্নাংশের বার বা লাইন ছাড়া একটি সংখ্যাকে উপরে এবং অপর সংখ্যাকে নিচে লিখেছিল। অর্থাৎ ভারতীয়রা সর্বপ্রথম ভগ্নাংশকে লব ও হরের আকারে প্রকাশ করেছিল।
তবে আরবরা ভগ্নাংশের লব ও হর কে আলাদা করে বোঝানোর জন্য ব্যবহৃত লাইনটি সর্বপ্রথম ব্যবহার করেছিল।
ভগ্নাংশ কি?
ভগ্নাংশ কথাটির আক্ষরিক অর্থ হল বিচ্ছিন্ন অংশ বা ভাগের অংশ। সুতরাং, কোনো নির্দিষ্ট পরিমানের মধ্যে একটি ক্ষুদ্রতম অংশকে বোঝাতে ভগ্নাংশ কথাটি ব্যবহার করা হয়। আমরা একটা ছোট উদাহরণের মাধ্যমে বিষয়টি আরও ভালোভাবে বোঝার চেষ্টা করবো।
মনে করো একটি রুটিকে ৬ টি সমান ভাগে ভাগ করা হয়েছে। এখন যদি আমরা রুটির একটি টুকরো কে ভগ্নাংশের আকারে প্রকাশ করতে চাই, তবে একে আমরা ১/৬ অংশ হিসাবে প্রকাশ করতে পারি। যা ৬ টি সমান টুকরোর ১ টি টুকরোকে নির্দেশ করে। ১/৬ অংশ কে পড়ার নিয়ম হল – ৬ ভাগের ১ ভাগ অথবা এক এর ছয় অংশ।
একইরকম ভাবে ৬ টি টুকরোর মধ্যে ২ টি টুকরো বোঝাতে ২/৬ অংশ এবং ৬ টি টুকরোর মধ্যে ৫ টি টুকরো বোঝাতে ৫/৬ অংশ হিসেবে প্রকাশ করতে পারি।
ভগ্নাংশ কাকে বলে ?
ভগ্নাংশের সংজ্ঞা বিভিন্নজন বিভিন্নভাবে দিয়ে থাকে। নিম্নে ভগ্নাংশের কিছু সংজ্ঞা তুলে ধরা হল –
ভগ্নাংশ কথার অর্থ হল ভাগের অংশ, সেহেতু ভাগের অংশ কে ভগ্নাংশ বলা হয়।
ভগ্নাংশ হল কোনো নির্দিষ্ট পরিমানের ক্ষুদ্রতম অংশ।
যখন কোনো সংখ্যাকে p/q আকারে প্রকাশ করা হয়, যেখানে q ≠ ০, তাকে ভগ্নাংশ বলা হয়। এখানে p কে লব এবং q কে হর বলা হয়।
কোনো নির্দিষ্ট বস্তুকে যখন সমান ভাগে ভাগ করা হয়। তখন তাকে ভগ্নাংশ বলা হয়।
ভগ্নাংশের উদহারণ
নিম্নে ভগ্নাংশের কিছু উদাহরণ তুলে ধরা হল –
- ১/২, ৩/৪, ৪/৭,… ইত্যাদি প্রকৃত ভগ্নাংশের উদাহরণ।
- ৩/২, ৭/৪, ৭/৬,… ইত্যাদি অপ্রকৃত ভগ্নাংশের উদাহরণ।
- ২(২/৩), ৩(১/৩),.. ইত্যাদি মিশ্র ভগ্নাংশের উদাহরণ।
- ১/১০০, ৪/১০, ৩/১০০০,… ইত্যাদি দশমিক ভগ্নাংশের উদাহরণ।
ভগ্নাংশের কয়টি অংশ ও কি কি ?
ভগ্নাংশের মূলত দুইটি অংশ রয়েছে। যথা –
- লব (Numerator) এবং
- হর (Denominator)
ভগ্নাংশের উপরের অংশ কে লব বলা হয় এবং ভগ্নাংশের নিচের অংশ কে হর বলা হয়। উদাহরণস্বরূপ, ২/ ৫ একটি ভগ্নাংশ, এখানে লব = ২ এবং হর = ৫.
ভগ্নাংশ কত প্রকার ও কি কি?
ভগ্নাংশ গুলিকে সাধারণত ২ ভাগে ভাগ করা হয়। যথা –
- সাধারণ ভগ্নাংশ বা সামান্য ভগ্নাংশ,
- দশমিক ভগ্নাংশ।
সাধারণ ভগ্নাংশ কাকে বলে কত প্রকার ও কি কি ?
যে ভগ্নাংশ গুলিকে লব ও হর এর আকারে লেখা যায়, তাদের সাধারণ ভগ্নাংশ বা সামান্য ভগ্নাংশ বলা হয়। যেমন : ১/২, ৩/২, ৫/৪,.. ইত্যাদি সাধারণ ভগ্নাংশের উদাহরণ।
সাধারণ ভগ্নাংশগুলিকে ৩ ভাগে ভাগ করা হয়। যথা –
- প্রকৃত ভগ্নাংশ,
- অপ্রকৃত ভগ্নাংশ,
- মিশ্র ভগ্নাংশ।
সাধারণ ভগ্নাংশের বিষয়ে বিস্তারিত ভাবে জানতে নিচে দেওয়া পোস্টটি পড়তে পারেন।
আরও পড়ুনঃ সাধারণ ভগ্নাংশ বলতে কি বোঝায় ?
যে ভগ্নাংশের লব ছোট এবং হর বড়, তাকে প্রকৃত ভগ্নাংশ বলা হয়। যেমন : ১/২, ৩/৪,.. ইত্যাদি প্রকৃত ভগ্নাংশের উদাহরণ।
যে সব ভগ্নাংশের লব বড়ো এবং হর ছোট, তাদের অপ্রকৃত ভগ্নাংশ বলা হয়। যেমন : ৫/৩, ৯/৭,.. ইত্যাদি অপ্রকৃত ভগ্নাংশের উদাহরণ।
যে ভগ্নাংশগুলি একটি পূর্ণ সংখ্যা ও একটি প্রকৃত ভগ্নাংশ মিলিত হয়ে গঠিত হয়, তাদের মিশ্র ভগ্নাংশ বলা হয়। যেমন: ২(২/৩), ৩(৫/৭),.. ইত্যাদি মিশ্র ভগ্নাংশের উদাহরণ।
আরও পড়ুনঃ
দশমিক ভগ্নাংশ কাকে বলে কত প্রকার ও কি কি?
যে ভগ্নাংশগুলির হর সর্বদা ১০ অথবা ১০ এর ঘাতে থাকে, তাদের দশমিক ভগ্নাংশ বলা হয়। যেমন: ১/১০, ২/১০০,.. ইত্যাদি দশমিক ভগ্নাংশের উদাহরণ।
দশমিক ভগ্নাংশগুলিকে সাধারণত ২ ভাগে ভাগ করা হয়। যথা –
- সসীম দশমিক ভগ্নাংশ,
- অসীম দশমিক ভগ্নাংশ।
যদি কোন দশমিক ভগ্নাংশের দশমিক বিন্দুর সসীম সংখ্যক সংখ্যা থাকে, তবে তাদের সসীম দশমিক ভগ্নাংশ বলা হয়।
যদি কোন দশমিক ভগ্নাংশের দশমিক বিন্দুর অসীম সংখ্যক সংখ্যা থাকে, তবে তাদের অসীম দশমিক ভগ্নাংশ বলা হয়।
সাধারণ ভগ্নাংশের বিষয়ে আরও বিস্তারিত জানতে নিচে দেওয়া আর্টিকেলগুলি পড়তে পারেন।
আরও পড়ুনঃ দশমিক ভগ্নাংশ বলতে কি বোঝায়?
বিভিন্ন প্রকার ভগ্নাংশ ও সংজ্ঞা
ইতিমধ্যে আমরা ভগ্নাংশের সংজ্ঞা ও ভগ্নাংশ কত প্রকার ও কি কি ইত্যাদি বিষয়গুলি বিস্তারিত ভাবে জেনেছি। এছাড়াও বিভিন্ন প্রকারের ভগ্নাংশ রয়েছে। এখন আমরা বিভিন্ন প্রকারের ভগ্নাংশের সংজ্ঞা ও উদাহরণ জানার চেষ্টা করবো।
সরল ভগ্নাংশ কাকে বলে?
যে সমস্ত ভগ্নাংশ গুলিকে লব ও হর এর আকারে প্রকাশ করা যায়, তাদের সরল ভগ্নাংশ বলা হয়। যেমন: ২/৭, ৩/৮,.. ইত্যাদি সরল ভগ্নাংশের উদাহরণ।
জটিল ভগ্নাংশ কাকে বলে ?
যে সমস্ত ভগ্নাংশের লব ও হরে অথবা উভয় জায়গায় আলাদা ভাবে ভগ্নাংশ থাকে তবে সেই ভগ্নাংশগুলিকে জটিল ভগ্নাংশ বলা হয়। যেমন : ২/(২/৩) একটি জটিল ভগ্নাংশ, কারণ এই ভগ্নাংশের হরে ২/৩ একটি ভগ্নাংশ রয়েছে।
যৌগিক ভগ্নাংশ কাকে বলে ?
যদি কোনো ভগ্নাংশের মধ্যে পুনরায় আবার ভগ্নাংশ নির্ণয় করতে বলা হয়। তবে সেই ভগ্নাংশকে যৌগিক ভগ্নাংশ বলা হয়। যেমনঃ ২/৫ এর ৪/৭ একটি যৌগিক ভগ্নাংশ।
সমহর বিশিষ্ট ভগ্নাংশ কাকে বলে?
যে ভগ্নাংশগুলির হর একই হয় অর্থাৎ হর সমান হয়, সেই ভগ্নাংশগুলিকে সমহর ভগ্নাংশ বলা হয়। যেমনঃ ১/৫, ৩/৫, ৪/৫ ভগ্নাংশ তিনটি সমহর বিশিষ্ট ভগ্নাংশ কারণে প্রত্যেকটি ভগ্নাংশের হরে ৫ রয়েছে।
অসমহর ভগ্নাংশ কাকে বলে?
যে ভগ্নাংশগুলির হর ভিন্ন হয়, সেই ভগ্নাংশগুলিকে অসমহর ভগ্নাংশ বলা হয়। যেমনঃ ১/৫, ৩/৭, ৪/৯ ভগ্নাংশ তিনটি অসমহর বিশিষ্ট ভগ্নাংশ কারণে প্রত্যেকটি ভগ্নাংশের হরে ভিন্ন ভিন্ন সংখ্যা রয়েছে।
বিপরীত ভগ্নাংশ কাকে বলে?
লব ও হরের স্থান বিনিময় করে যে ভগ্নাংশ পাওয়া যায়, তাকে বিপরীত ভগ্নাংশ বলা হয়।
অন্যভাবে বলতে পারি, কোনো ভগ্নাংশের লবে হর কে এবং হরে লব কে লিখে যে ভগ্নাংশ পাওয়া যায়, তাকে বিপরীত ভগ্নাংশ বলা হয়। বিপরীত ভগ্নাংশকে অন্যানোক ভগ্নাংশ ও বলা হয়।
যেমনঃ ৭ এর বিপরীত ভগ্নাংশ ১/৭, ২/৩ এর বিপরীত ভগ্নাংশ ৩/২.
সমতুল্য ভগ্নাংশ কাকে বলে ?
যদি দুই বা দুই এর বেশি ভগ্নাংশকে লঘিষ্ঠ আকারে প্রকাশ করার পর ভগ্নাংশগুলির মান সমান হয়, তবে সেই ভগ্নাংশগুলিকে সমতুল্য ভগ্নাংশ বলা হয়।
সমতুল্য ভগ্নাংশের উদাহরণ:
- ২/৫ এর সমতুল ভগ্নাংশগুলি হল – ৪/১০, ৬/১৫, ৮/২০, ১০/২৫,… ইত্যাদি।
- ৩/৫ এর সমতুল্য ভগ্নাংশগুলি হল – ৬/১০, ৯/১৫, ১২/২০, ১৫/২৫, ১৮/৩০,…. ইত্যাদি।
- ২/৭ এর সমতুল্য ভগ্নাংশ গুলি হল- ৪/১৪, ৬/২১, ৮/২৮, ১০/৩৫, ১২/৪২, ১৪/৪৯,… ইত্যাদি।
সমতুল্য ভগ্নাংশের বিষয়ে বিস্তারিতভাবে জানতে নিচে দেওয়া আর্টিকেলটি পড়ে দেখতে পারেন।
আরও পড়ুনঃ সমতুল্য ভগ্নাংশ বলতে কি বোঝায়?
ভগ্নাংশের বৈশিষ্ট্য
নিম্নে ভগ্নাংশের কিছু গুরুত্বপূর্ণ বৈশিষ্ট্য তুলে ধরা হল –
- যদি কোনো ভগ্নাংশের লব ও হর সমান হয়,তাহলে ভগ্নাংশের মান ১ হবে।
- যদি কোনো ভগ্নাংশের হরে ০ থাকে ,তাহলে ভগ্নাংশের মান অসীম হবে।
- যদি কোনো ভগ্নাংশের লব ০ হয়,তাহলে ভগ্নাংশের মান ০ হবে।
- যদি কোনো ভগ্নাংশের লব ও হরের মধ্যে ১ ছাড়া অন্য কোনো উৎপাদক না থাকে,তাহলে ভগ্নাংশের সেই আকার কে ভগ্নাংশের লঘিষ্ঠ আকার বলা হয়।
- যদি কোনো ভগ্নাংশের লব ও হর কে সমান সংখ্যা দিয়ে গুন ও ভাগ করা হয়,তাহলে ভগ্নাংশের মানের কোনো পরিবর্তন হবে না।
- ভগ্নাংশের মাধ্যমে বোঝা যায় লব হরের কত অংশ।
- দুই বা ততোধিক ভগ্নাংশের ক্ষেত্রে যদি হর সমান হয়, তবে যে ভগ্নাংশটির লব বড়, সেই ভগ্নাংশটি বড়ো হবে।
- দুই বা ততোধিক ভগ্নাংশের লব একই হলে ঐ ভগ্নাংশগুলোর মধ্যে যার হর ছোট সেই ভগ্নাংশটি বড়ো হবে।
- ভগ্নাংশের ফলাফল সর্বদা লঘিষ্ঠ আকারে প্রকাশ করতে হয়।
ভগ্নাংশের যোগ করার নিয়ম?
আমরা যখন ভগ্নাংশের যোগ করতে যায়, তখন আমাদের সামনে দুই ধরণের সমস্যা দেখা যায়।
- সমহর বিশিষ্ট ভগ্নাংশের যোগ এবং
- অসমহর বিশিষ্ট ভগ্নাংশের যোগ।
সমহর বিশিষ্ট ভগ্নাংশের যোগ করার নিয়ম?
যদি দুই বা ততোধিক ভগ্নাংশের হর একই থাকে, তবে যোগ করার সময় হরে যা আছে তাই লিখবে এবং লব গুলিকে যোগ করে লবে লিখবে।
উদাহরণঃ 2/7 + 4/7 = 6/7,
এখানে হরে ৭ আছে তাই হরে ৭ বসিয়েছি এবং লবদুটির যোগফল (২+৪)=৬ লবে বসিয়েছি।
সুতরাং, যোগফল = ৬/৭
অসমহর বিশিষ্ট ভগ্নাংশের যোগ করার নিয়ম?
আলাদা আলাদা হর বিশিষ্ট ভগ্নাংশের যোগ করার জন্য নিচে দেওয়া ধাপগুলি অনুসরণ করুন।
- প্রথমে হরগুলির লসাগু করে হরে লিখতে হবে।
- তারপর প্রথম ভগ্নাংশের হর দিয়ে লসাগুকে ভাগ করতে হবে এবং ভাগফল দিয়ে প্রথম ভগ্নাংশের লবকে গুন্ করে লবে লিখতে হবে।
- তারপর “+” চিহ্নটি বসাতে হবে।
- তারপর আবার দ্বিতীয় ভগ্নাংশের হর দিয়ে লসাগুকে ভাগ করতে হবে এবং ভাগফল দিয়ে দ্বিতীয় ভগ্নাংশের লবকে গুন্ করে লবে লিখতে হবে।
- অবশেষে, হরে লসাগু এবং লবে যোগফল বসালে ভগ্নাংশের যোগ সম্পন্ন হয়ে যাবে।
ভগ্নাংশের বিয়োগ করার নিয়ম?
ভগ্নাংশের যোগের নিয়ম এবং বিয়োগের নিয়ম একই, কেবলমাত্র যোগ চিহ্নের জায়গায় বিয়োগের চিহ্ন বসিয়ে যোগের পরিবর্তে বিয়োগ করতে হবে।
উদাহরণ: ৪/৭ – ১/৭ = (৪-১)/৭ = ৩/৭
ভগ্নাংশের গুণ করার নিয়ম?
ভগ্নাংশের যোগ ও বিয়োগের তুলনায় গুণ করা অনেক সহজ। ভগ্নাংশের গুন্ করার জন্য লব কে লবের সঙ্গে গুন্ করে লবে এবং হর কে হরের সঙ্গে গুন্ করে হরে লিখতে হবে।
উদাহরণঃ ২/৩ ⨰ ৪/৭ = ৮/২১
ভগ্নাংশের ভাগ করার নিয়ম?
ভগ্নাংশের ভাগ করার জন্য নিচে দেওয়া ধাপগুলি অনুসরণ করুন।
- প্রথমে ভগ্নাংশগুলিকে ভাগের আকারে লিখবে।
- তারপর প্রথমে প্রথম ভগ্নাংশ কে লিখবে।
- তারপর ভাগ চিহ্নের জায়গায় গুনের চিহ্ন লিখবে।
- তারপর দ্বিতীয় ভগ্নাংশের বিপরীত ভগ্নাংশ লিখবে। অর্থাৎ লবের জায়গায় হর এবং হরের জায়গায় লব লিখতে হবে।
- তারপর লব কে লবের সঙ্গে গুন্ করে লবে এবং হর কে হরের সঙ্গে গুন্ করে হরে লিখতে হবে।
আরও পড়ুনঃ