মৌলিক সংখ্যা কাকে বলে – Prime Number : মৌলিক সংখ্যা এমন এক ধরণের স্বাভাবিক সংখ্যা যার কেবলমাত্র দুটি পৃথক উৎপাদক বা গুণনীয়ক আছে, ১ এবং সেই সংখ্যাটি নিজে। অর্থাৎ মৌলিক সংখ্যাকে আমরা কেবলমাত্র ১ এবং সেই সংখ্যাটি দিয়ে ভাগ করতে পারি।
যেমন : ৩ একটি স্বাভাবিক সংখ্যা, এখন আমরা যাচাই করবো ৩ কি মৌলিক সংখ্যা ? আমরা ৩ কে শুধু মাত্র ১ এবং ৩ দিয়ে ভাগ করতে পারি ,অতএব ৩ এর উৎপাদকের সংখ্যা ২ টি ১ এবং ৩। তাই আমরা বলতে পারি ৩ একটি মৌলিক সংখ্যা। ঠিক একইভাবে ২, ৩, ৫, ৭, ১১, ১৩, ১৭, ১৯,…ইত্যাদি মৌলিক সংখ্যার উদাহরণ।
প্রাচীনকাল থেকেই মৌলিক সংখ্যা গণিতজ্ঞদের মনে কৌতূহলের সৃষ্টি করেছিল। মৌলিক সংখ্যার , সংখ্যা অসীম সংখ্যক রয়েছে। এখনও গণিতবিদরা মৌলিক সংখ্যাগুলির খোঁজ চালিয়ে যাচ্ছেন। ক্রিস্টপূর্বাব্দ ৩০০ সালে ইউক্লিড মৌলিক সংখ্যার উপর উপপাদ্যটি প্রস্তাব করেছিলেন , যে অসীম সংখ্যক মৌলিক সংখ্যা রয়েছে।
মৌলিক সংখ্যা কাকে বলে – বৈশিষ্ট্য এবং ১ থেকে ১০০ পর্যন্ত মৈলিক সংখ্যা কয়টি ?
আজকের এই টিউটোরিয়ালে আমরা যে বিষয়গুলো বিস্তারিত আলোচনা করবো সেগুলি হল – মৌলিক সংখ্যা কাকে বলে , মৌলিক সংখ্যার ধর্ম , যমজ মৌলিক সংখ্যা কাকে বলে, পরস্পর মৌলিক সংখ্যা কাকে বলে, ১ থেকে ১০০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা কয়টি এবং ইরাটোস্থেনিস ছাঁকনির সাহায্যে মৌলিক সংখ্যা নির্ণয় করার পদ্ধতি।
মৌলিক সংখ্যা কি ?
মৌলিক সংখ্যা বলতে আমরা ওই সমস্ত সংখ্যাকে জানি, যে সংখ্যাগুলি ১ এর থেকে বড়ো এবং যার উৎপাদক বা গুণনীয়কের সংখ্যা ২ টি , ১ এবং সেই সংখ্যাটি নিজে। উদাহরণ হিসাবে বলতে পারি ৫ সংখ্যাটি ১ এর চেয়ে বড়ো এবং এর দুটি উৎপাদক ১ এবং সে নিজে। সেহেতু আমরা বলতে পারি ৫ একটি মৌলিক সংখ্যা। একইভাবে ৬ সংখ্যাটি মৌলিক সংখ্যা নয়। কারণ এর উৎপাদক সংখ্যা চারটি ১, ২, ৩ এবং ৬।
মৌলিক সংখ্যা কাকে বলে – Prime number definition
মৌলিক সংখ্যা কাকে বলে এর উত্তর বিভিন্ন জন বিভিন্ন উপায়ে দিয়ে থাকে। নিম্নে মৌলিক সংখ্যার কিছু সংজ্ঞা তুলে ধরা হল –
যে সকল সংখ্যাকে অন্য কোনো সংখ্যা দিয়ে ভাগ করা যায় না তাকে মৌলিক সংখ্যা বলে।
অন্যভাবে বলতে পারি , যে সব সংখ্যাকে ১ এবং সেই সংখ্যা ছাড়া অন্যকোনো সংখ্যা দ্বারা ভাগ করা যায় না , তাকে মৌলিক সংখ্যা বলে।
যে সংখ্যাগুলি ১ এর চেয়ে বড়ো এবং যাদের গুণনীয়কের সংখ্যা দুটি ১ এবং সেই সংখ্যাটি নিজে ,তাদের মৌলিক সংখ্যা বলা হয়।
যে সংখ্যা কেবলমাত্র ১ এবং সেই সংখ্যা দ্বারা বিভাজ্য তাকে মৌলিক সংখ্যা বলা হয়।
১ এর চেয়ে বড়ো যে সমস্ত স্বাভাবিক সংখ্যাকে তার চেয়ে ছোট দুটি স্বাভাবিক সংখ্যার গুনফলরূপে প্রকাশ করা যায় না। সেই সব স্বাভাবিক সংখ্যাকে মৌলিক সংখ্যা বলা হয়।
উদাহরণস্বরূপ ১৭ হল ১ এর চেয়ে বড়ো একটি স্বাভাবিক সংখ্যা। কিন্তু আমরা ১৭ কে ১৭ এর চেয়ে ছোট দুটি স্বাভাবিক সংখ্যার গুনফল আকারে প্রকাশ করতে পারি না। সুতরাং ১৭ একটি মৌলিক সংখ্যা।
মৌলিক সংখ্যার উদাহরণ
২, ৩, ৫, ৭, ১১, ১৩, ১৭, ১৯, ২৩, ২৯, ৩১,…..ইত্যাদি সংখ্যাগুলি হল মৌলিক সংখ্যার উদাহরণ। এই সংখ্যাগুলিকে কেবলমাত্র এক এবং সেই সংখ্যা দিয়ে ভাগ করা যাবে।
মৌলিক সংখ্যার সেট
প্রথম ৫ টি মৌলিক সংখ্যার সেট হল = { ২, ৩, ৫, ৭, ১১ } .
প্রথম ১০ টি মৌলিক সংখ্যার সেট হল = { ২, ৩, ৫, ৭, ১১, ১৩, ১৭, ১৯, ২৩, ২৯ } .
১ থেকে ২০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যার সেট = { ২, ৩, ৫, ৭, ১১, ১৩, ১৭, ১৯ }
১ – ১০০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা কয়টি ও কি কি ?
১ – ১০০ পর্যন্ত মোট ২৫ টি মৌলিক সংখ্যা আছে। ১ – ১০০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা গুলি হলো – ২, ৩, ৫, ৭, ১১, ১৩, ১৭, ১৯, ২৩, ২৯, ৩১, ৩৭, ৪১, ৪৩, ৪৭, ৫৩, ৫৯, ৬১, ৬৭, ৭১, ৭৩, ৭৯, ৮৩, ৮৯, ৯৭।
- ১ থেকে ১০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যাগুলি হল – ২, ৩, ৫, ৭। অতএব , ১ থেকে ১০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা ৪ টি।
- ১১ থেকে ২০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যাগুলি হল – ১১, ১৩, ১৭, ১৯। সুতরাং ১১ থেকে ২০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা ৪ টি।
- ২১ থেকে ৩০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যাগুলো হল – ২৩, ২৯। অতএব , ২১ থেকে ৩০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা ২ টি।
- ৩১ থেকে ৪০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা গুলি যথাক্রমে ৩১, ৩৭। সুতরাং ৩১ থেকে ৪০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যার মোট সংখ্যা ২ টি।
- ৪১ থেকে ৫০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যাগুলি যথাক্রমে ৪১, ৪২,৪৭। অর্থাৎ, ৪১ থেকে ৫০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা ৩ টি।
- ৫১ থেকে ৬০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যাগুলো হল – ৫৩, ৫৯। সেহেতু ,৫১ থেকে ৬০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা ২ টি।
- ৬১ থেকে ৭০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যাগুলো যথাক্রমে ৬১, ৬৭। ৬১ থেকে ৭০ পর্যন্ত ২ টি মৌলিক সংখ্যা আছে।
- ৭১ থেকে ৮০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা ৭১, ৭৩, ৭৯। অর্থাৎ ৭১ থেকে ৮০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা ৩ টি আছে।
- ৮১ থেকে ৯০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যাগুলি হল – ৮৩, ৮৯। ৮১ থেকে ৯০ পর্যন্ত ২ টি মৌলিক সংখ্যা আছে।
- ৯১ থেকে ১০০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা হল ৯৭। সুতরাং ৯১ থেকে ১০০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা ১ টি।
বিজোড় মৌলিক সংখ্যার তালিকা
একমাত্র ২ ছাড়া সমস্ত মৌলিক সংখ্যা বিজোড় হয়। সুতরাং ১ – ১০০ পর্যন্ত বিজোড় মৌলিক সংখ্যাগুলি হল – ৩, ৫, ৭, ১১, ১৩, ১৭, ১৯, ২৩, ২৯, ৩১, ৩৭, ৪১, ৪৩, ৪৭, ৫৩, ৫৯, ৬১, ৬৭, ৭১, ৭৩, ৭৯, ৮৩, ৮৯, ৯৭।
মৌলিক সংখ্যার বৈশিষ্ট্য
মৌলিক সংখ্যার অসংখ্য বৈশিষ্ট্য রয়েছে তার মধ্যে কিছু গুরুত্বপূর্ণ বৈশিষ্ট্য নিম্নে তুলে ধরা হল –
- মৌলিক সংখ্যা হল ১ এর থেকে বড়ো একটি পূর্ণ সংখ্যা।
- মৌলিক সংখ্যার কেবলমাত্র দুইটি গুণনীয়ক আছে , ১ এবং সেই সংখ্যাটি নিজে।
- একমাত্র জোড় মৌলিক সংখ্যা হল ২।
- যে কোনো দুটি মৌলিক সংখ্যা সর্বদা পরস্পর মৌলিক সংখ্যা।
- প্রতিটি সংখ্যাকে মৌলিক সংখ্যার গুণফলের আকারে প্রকাশ করা যায়। যেকোনো জোড় সংখ্যাকে দুটি মৌলিক সংখ্যার যোগফলের আকারে লেখা যায়। উদাহরণ : ১০ একটি জোড় সংখ্যা , ১০ = ৩ + ৭ , এখানে ৩ ও ৭ মৌলিক সংখ্যা। ১৬ একটি জোড় সংখ্যা , ১৬ = ৩ + ১৩, এখানে ৩ ও ১৩ মৌলিক সংখ্যা।
- ৩ এর চেয়ে বড়ো কোন কোন মৌলিক সংখ্যার বর্গকে ১২ দিয়ে ভাগ করলে ১ ভাগশেষ থাকে। যেমন : ৩-এর চেয়ে বড়ো একটি মৌলিক সংখ্যা ৫. ৫ এর বর্গ ২৫ কে ১২ দিয়ে ভাগ করলে ১ ভাগশেষ থাকে। এই রকম কিছু মৌলিক সংখ্যা হল – ১১, ১৩, ১৭, ১৯ ,… ইত্যাদি মৌলিক সংখ্যার বর্গকে ১২ দিয়ে ভাগ করলে ১ অবশিষ্ট থাকবে।
মৌলিক সংখ্যা খুঁজে বের করার সহজ উপায়।
গণিতবিদরা মৌলিক সংখ্যা খুঁজে বের করার বিভিন্ন উপায়ের সন্ধান করেছে। আজকে আমি তোমাদের যে পদ্ধতি বলতে চলেছি ,এই পদ্ধতির সাহায্যে তোমরা খুব সহজে মৌলিক সংখ্যা খুঁজে বের করতে পারবে। এই নিয়ম টি ২ ও ৩ ছাড়া প্রতিটি মৌলিক সংখ্যার ক্ষেত্রে প্রযোজ্য।
২ ও ৩ বাদে যেকোনো মৌলিক সংখ্যা কে ‘৬n + ১’ অথবা ‘৬n – ১’ এর আকারে লেখা যায়। এখানে n – একটি স্বাভাবিক সংখ্যা।
এখন আমরা সূত্রে n = ১, ২, ৩, ৪,… বসিয়ে মৌলিক সংখ্যা খুঁজে বের করার চেষ্টা করবো।
যখন n = ১, অতএব ৬n + ১ = ৬ х ১ +১ = ৭ এবং ৬n – ১ = ৬ х ১ – ১ = ৫।
যখন n = ২ , তখন ৬n + ১ = ৬ х ২ +১ = ১৩ এবং ৬n – ১ = ৬ х ২ – ১ = ১১।
যখন n = ৩ , তখন ৬n + ১ = ৬ х ৩ +১ = ১৯ এবং ৬n – ১ = ৬ х ৩ – ১ = ১৭।
এখানে আমরা না = ১, ২, ৩,.. বসিয়ে যথাক্রমে ৫, ৭, ১১, ১৩, ১৭, ১৯,… সংখ্যাগুলি পেয়েছি। আমরা জানি এই সংখ্যাগুলি মৌলিক সংখ্যা। সুতরাং এই সূত্রটি ব্যবহার করে খুব সহজে মৌলিক সংখ্যা খুঁজে বের করা যাবে। কিন্তু এই পদ্ধতিটি ২ ও ৩ এর ক্ষেত্রে প্রযোজ্য নয়।
ইরাটোস্থিনিস ছাঁকনির সাহায্যে মৌলিক সংখ্যা নির্ণয়।
প্রাচীন কাল থেকেই গণিতবিদরা মৌলিক সংখ্যা বের করার উপায় করছে। গ্রিক গণিতজ্ঞ ইরাটোস্থিনিস যিশুখিস্টের জন্মের পূর্বে তৃতীয় শতকে কোনো সংখ্যার গুণনীয়ক বা উৎপাদক বের না করেই খুব সহজে ১ থেকে ১০০ পর্যন্ত সংখ্যার মধ্যে মৌলিক সংখ্যা খোঁজার পদ্ধতি বলেছিলেন। এই পদ্ধতিকে ইরাটোস্থিনিসের চালুনি বলা হয়।
এই চালনি ব্যবহার করে একটা নির্দিষ্ট সংখ্যা থেকে অন্য একটি নির্দিষ্ট সংখ্যা পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা বের করা যাবে। নিম্নে ইরাটোস্থিনিস ছাঁকুনির সহজে ১ থেকে ১০০ পর্যন্ত সংখ্যা লিখে মৌলিক সংখ্যা নির্ণয় করা হয়েছে।
নিম্নে দেওয়া স্টেপ গুলি অনুসরণ করে খুব সহজে মৌলিক সংখ্যা বের করতে পারবে।
- প্রথমে উপরে দেওয়া ছকের মতো করে ১ থেকে ১০০ পর্যন্ত সংখ্যা লিখবে এবং ১ কে কেটে দিবে। কারণ আমরা জানি ১ মৌলিক বা যোগিক সংখ্যা নই।
- তারপর , সবচেয়ে ছোট মৌলিক সংখ্যা ২ কে গোল করবে এবং ২ এর সব গুণিতক গুলিকে কেটে দিয়ে।
- তারপর, মৌলিক সংখ্যা ৩ কে গোল করে ৩ এর সমস্ত গুণিতক কে কেটে দিবে।
- তারপর ,একইভাবে ছোট মৌলিক সংখ্যা ৫, ৭, ১১। ..ইত্যাদি মৌলিক সংখ্যার গুণিতক গুলিকে কেটে দিবে। তারপর দেখবে বেশকিছু সংখ্যা অবশিষ্ট থেকে যাবে ,যাদের ভাগ করা যাবেনা। আর এই অবশিষ্ট সংখ্যাগুলি হল ১ থেকে ১০০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা।
এইভাবে 1 থেকে 100 পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা গুলি হল – 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.
উপরে দেওয়া নিয়ম অনুসরণ করে একটি নির্দিষ্ট সংখ্যা থেকে অন্য একটি নির্দিষ্ট সংখ্যার মধ্যেকার মৌলিক সংখ্যা নির্ণয় করতে পারবে। যেমন : ১০১ থেকে ২০০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা , ১ থেকে ৫০০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা খুব সহজে নির্ণয় করতে পারবে।
যমজ মৌলিক সংখ্যা কাকে বলে – Twin Prime Number.
যমজ মৌলিক সংখ্যা সেই সমস্ত মৌলিক সংখ্যাগুলি কে বলা হয় যাদের মধ্যেকার অন্তর ২। অন্য ভাবে বলতে পারি, ওই দুটি মৌলিক সংখ্যাকে যমজ মৌলিক সংখ্যা বলবো ,যাদের বিয়োগফল ২। উদাহরণস্বরূপ (৩, ৫) যমজ মৌলিক সংখ্যা কারন (৫-৩)=২। একইরকম ভাবে (৫,৭), (১১, ১৩), (১৭,১৯),…ইত্যাদি যমজ মৌলিক সংখ্যার উদাহরণ।
পরস্পর মৌলিক সংখ্যা কাকে বলে – Co-prime Numbers
দুটি মৌলিক বা যৌগিক সংখ্যার গসাগু ১ হলে ,সংখ্যা দুটি কে একেওপরের সাপেক্ষে পরস্পর মৌলিক সংখ্যা বলা হয়। যেমন : ২ ও ৩ এর গসাগু ১ , সেহেতু ২ ও ৩ পরস্পর মৌলিক সংখ্যা। ৪ ও ৭ এর গসাগু ১, সুতরাং ৮ ও ৭ পরস্পর মৌলিক সংখ্যা।
অন্যভাবে বলতে পারি , যদি দুটি সংখ্যার মধ্যে ১ ছাড়া অন্য কোনো সাধারণ গুণনীয়ক না থাকে ,তবে সংখ্যা দুটিকে একেঅপরের সাপেক্ষে পরস্পর মৌলিক সংখ্যা বলা হয়। ২৪ ও ৪২ এর সাধারণ গুণনীয়ক ১ ছাড়া ২, ৩ এবং ৬। তাই ২৪ ও ৪২ পরস্পর মৌলিক সংখ্যা নয়। সংখ্যা দুটির ১ ছাড়া অন্য সাধারণ গুণনীয়ক রয়েছে তাই পরস্পর মৌলিক সংখ্যা নয়।
ক্ষুদ্রতম মৌলিক সংখ্যা কত ?
২ ক্ষুদ্রতম মৌলিক সংখ্যা।
মৌলিক সংখ্যার গুণনীয়কের সংখ্যা কয়টি ?
মৌলিক সংখ্যার গুণনীয়কের সংখ্যা ২ টি , ১ এবং সেই সংখ্যাটি নিজে।
দুই অঙ্কের বৃহত্তম মৌলিক সংখ্যা কত ?
৯৭ হল দুই অংকের বৃহত্তম মৌলিক সংখ্যা।
১ মৌলিক সংখ্যা নয় কেন ?
মৌলিক সংখ্যার ২ টি গুণনীয়ক থাকে ১ এবং সেই সংখ্যা নিজে এবং যৌগিক সংখ্যার কম করে ৩টি গুণনীয়ক থাকে। আমরা যদি লক্ষ্য করি ১ এর গুণনীয়কের সংখ্যা ১ টি। সেহেতু ১ সংখ্যাটি মৌলিক বা যৌগিক সংখ্যা নয়।
মৌলিক সংখ্যার কিছু গুরুত্বপূর্ণ তথ্য।
নিম্নে মৌলিক সংখ্যার কিছু গুরুত্বপূর্ণ তথ্য তুলে ধরা হলে –
- ২ হল সবচেয়ে ছোট মৌলিক সংখ্যা।
- ২ একমাত্র জোড় মৌলিক সংখ্যা।
- পরপর দুটি মৌলিক সংখ্যা হল ২ ও ৩।
- ১ মৌলিক সংখ্যাও নয় এবং যৌগিক সংখ্যা ও নয়।
- দুই অংকের ক্ষুদ্রতম মৌলিক সংখ্যা হল ১১।
- ৯৭ হল দুই অংকের সবচেয়ে বড়ো মৌলিক সংখ্যা।
মৌলিক সংখ্যা কাকে বলে article টি পড়ে খুব সহজে বুজতে পেরেছো মৌলিক সংখ্যার কেবলমাত্র দুটি উৎপাদক থাকে ১ এবং সেই সংখ্যাটি নিজে। তারপর ও যদি কোনো প্রশ্ন অথবা সাজেশন থাকে তবে অবশই জানাবে। ধন্যবাদ। ..
Also Reads :
- জোড় সংখ্যা ও বিজোড় সংখ্যা কাকে বলে – Even and Odd Numbers
- সংখ্যা পদ্ধতি কি – সংখ্যা পদ্ধতি কত প্রকার ও কি কি
- মূলদ সংখ্যা কাকে বলে – দুটি মূলদ সংখ্যার মধ্যে মূলদ সংখ্যা বের করার নিয়ম।