লসাগু কাকে বলে : লসাগু এর পূর্ণরূপ হল লঘিষ্ঠ সাধারণ গুণিতক। ল সা গু গণিতের অতি গুরুত্বপূর্ণ অংশ, প্রাথমিক গণিত থেকে শুরু করে এডভ্যান্স গণিত সব জায়গায় আমরা লসাগু এর ব্যবহার করে থাকি। বিশেষ করে ভগ্নাংশের যোগ বিয়োগ এবং বিভিন্ন ধরণের সমীকরণের সমাধান করার সময় লসাগু এর ব্যবহার করা হয়। তাই ছাত্রছাত্রীদের লসাগু কি, ল সা গু এর অর্থ কি এবং ল সা গু নির্ণয়ের পদ্ধতি গুলি ভালোভাবে আয়ত্ত করতে হবে।
ল সা গু বলতে আমরা সবচেয়ে ছোট সাধারণ গুণিতক কে জানি। অর্থাৎ সবেচেয়ে ছোটো সাধারণ গুণিতককে ল সা গু বলা হয়। আমরা একটা উদাহরণের মাধ্যমে বোঝার চেষ্টা করবো লসাগু কি ?
প্রশ্ন: ৩ ও ৫ এর লসাগু নির্ণয় করো ?
উত্তর : ৩ এর গুণিতকগুলি হল – ৩, ৬, ৯, ১২, ১৫, ১৮, ২১, ২৪, ২৭, ৩০,.. ইত্যাদি।
৫ এর গুণিতক গুলি হল – ৫, ১০, ১৫, ২০, ২৫, ৩০, ৩৫, ৪০, ৪৫, ৫০, ৫৫,… ইত্যাদি।
অতএব, ৩ ও ৫ এর সাধারণ গুণিতক গুলি হল – ১৫, ৩০, ৪৫, ৬০,… ইত্যাদি।
সুতরাং, ৩ ও ৫ এর লসাগু = ১৫.
লসাগু কাকে বলে | লসাগু এর পূর্ণরূপ কি ?
আজকের টিউটোরিয়ালে লসাগু কি, লসাগু কাকে বলে, লসাগু এর পূর্ণরূপ কি এবং লসাগু নির্ণয়ের পদ্ধতি ইত্যাদি বিষয়গুলো আমরা বিস্তারিতভাবে জানার চেষ্টা করবো। তাই আমি সমস্ত ছাত্রছাত্রীকে এই আর্টিকেলটি সম্পূর্ণ পড়ার জন্য অনুরোধ করছি। কারণ এই আর্টিকেলটি ভালোভাবে পড়ার পর আশাকরি লসাগু এর সঙ্গে সম্পর্কিত সব ধরণের প্রশ্নের উত্তর দিতে পারবে।
লসাগু কি ?
লসাগু এর ইংরেজি অর্থ হল LCM এর সংক্ষিপ্ত রূপ হল – Least common multiple বা লঘিষ্ঠ সাধারণ গুণিতক। ল সা গু এর পুরো নাম থেকেই বোঝা যায় লসাগু নামের সঙ্গে গুণিতক এবং সাধারণ গুণিতক কথা দুটি যুক্ত আছে।
সুতরাং, ল সা গু কি এবং লসাগুর সংজ্ঞা জানার আগে আমাদের গুণিতক এবং সাধারণ গুণিতকের বিষয়ে জানতে হবে। তাই চলো বেশি দেরি না করে জেনেনি গুণিতক এবং সাধারণ গুণিতক বলতে কি বোঝো ?
গুণিতক কাকে বলে উদাহরণ দাও ?
যে কোনো সংখ্যাকে পূর্ণ সংখ্যা দিয়ে গুণ করলে যে গুনফল পাওয়া যায়, তাদের ওই সংখ্যার গুণিতক বলা হয়। অর্থাৎ যে সংখ্যার গুণিতক নির্ণয় করতে হবে সেই সংখ্যাকে ০, ১, ২, ৩, ৪, ৫, ৬, ৭, ৮,৯,… ইত্যাদি সংখ্যা দিয়ে গুণ করে যে সংখ্যাগুলি পাওয়া যাবে ,তাদের ওই সংখ্যার multiple বা গুণিতক বলা হয়।
গুণিতকের উদাহরণ:
- ২ এর গুণিতক গুলি হল – ০, ২, ৪, ৬, ৮, ১০, ১২, ১৪, ১৬, ১৮,… ইত্যাদি।
- ৩ এর গুণিতকগুলি হল – ০, ১, ৩, ৬, ৯, ১২, ১৫, ১৮, ২১, ২৪,.. ইত্যাদি।
- ৪ এর গুণিতক গুলি হল – ০, ৪, ৮, ১২, ১৬, ২০, ২৪, ২৮, ৩২,.. ইত্যাদি।
- ৫ এর গুণিতক গুলি হল – ০, ৫, ১০, ১৫, ২০, ২৫, ৩০, ৩৫,… ইত্যাদি।
সাধারণ গুণিতক কাকে বলে উদাহরণ দাও ?
সাধারণ গুণিতককে ইংরেজিতে Common multiple বলা হয়। সাধারণ কথার অর্থ হল যে সব জায়গায় থাকে। অর্থাৎ, দুই বা দুই এর বেশি সংখ্যার গুণিতক গুলির মধ্যে যে গুণিতক গুলির মিল পাওয়া যায়, সেই সংখ্যাগুলিকে সাধারণ গুণিতক বা common multiple বলা হয়।
সাধারণ গুণিতকের উদাহরণ:
প্রশ্নঃ ২ ও ৩ এর সাধারণ গুণিতকগুলি নির্ণয় করো ?
উত্তর: ২ এর গুণিতক গুলি হল – ০, ২, ৪, ৬, ৮, ১০, ১২, ১৪, ১৬, ১৮,… ইত্যাদি।
৩ এর গুণিতকগুলি হল – ০, ১, ৩, ৬, ৯, ১২, ১৫, ১৮, ২১, ২৪,.. ইত্যাদি।
২ ও ৩ এর গুণিতক গুলি ভালোভাবে লক্ষ্য করলে দেখতে পাবে ৬, ১২, ১৮,.. ইত্যাদি সংখ্যাগুলি ২ ও ৩ উভয়ের গুণিতকে রয়েছে।
সুতরাং, ২ ও ৩ এর সাধারণ গুণিতক গুলি হল – ৬, ১২, ১৮, ২৪,… ইত্যাদি।
গুণিতক ও সাধারণ গুণিতকের বিষয়ের আরো জানতে নিচে দেওয়া আর্টিকেলটি পড়তে পারেন।
আরও পড়ুন: গুণিতক বলতে কি বোঝো ?
লসাগু কাকে বলে ?
লসাগু এর ইংরেজি হল হল LCM. LCM এর পুরো নাম Least common multiple বা লঘিষ্ঠ সাধারণ গুণিতক। আমরা জানি লঘিষ্ঠ কথার অর্থ হল সবচেয়ে ছোটো। সেই হিসাবে লসাগু এর সংক্ষিপ্ত রূপ হল – সবচেয়ে ছোটো সাধারণ গুণিতক। এই অর্থানুযায়ী লসাগু এর সংজ্ঞা নিম্নের মতো করে দিতে পারি।
সবচেয়ে ছোটো সাধারণ গুণিতক কে লসাগু বা lcm বলা হয়। আমরা একটা উদাহরণের মাধ্যমে লসাগুকে বোঝার চেষ্টা করবো।
প্রশ্নঃ ৪ ও ৫ এর লসাগু নির্ণয় করো ?
উত্তরঃ ৪ এর গুণিতক গুলি হল – ৪, ৮, ১২, ১৬, ২০, ২৪, ২৮, ৩২, ৩৬, ৪০, ৪৪, ৪৮, ৫২, ৫৬, ৬০,…… ইত্যাদি।
৫ এর গুণিতক গুলি হল – ৫, ১০, ১৫, ২০, ২৫, ৩০, ৩৫, ৪০, ৪৫, ৫০, ৫৫, ৬০, ৬৫, ৭০,…. ইত্যাদি।
৪ ও ৫ এর সাধারণ গুণিতক গুলি হল – ২০, ৪০, ৬০, ৮০,… ইত্যাদি।
৪ ও ৫ এর সাধারণ গুণিতকগুলির মধ্যে সবচেয়ে ছোটো সাধারণ গুণিতক হল ২০.
সুতরাং ৪ ও ৫ এর লসাগু = ২০.
লসাগু নির্ণয়ের পদ্ধতি – How to find lcm of a number?
ইতিমধ্যে আমরা জেনেছি ল সা গু কি, গুণিতক, সাধারণ গুণিতক এবং লসাগু কাকে বলে। এখন আমরা ল সা গু নির্ণয়ের পদ্ধতি নিয়ে বিস্তারিত ভাবে আলোচনা করবো। আজকের আর্টিকেলে আমি তোমাদের সঙ্গে লসাগু নির্ণয়ের তিনটি পদ্ধতি নিয়ে আলোচনা করবো। তোমরা তোমাদের পছন্দ মতো যে কোনো পদ্ধতির সাহায্যে লসাগু নির্ণয় করতে পারবে।
লসাগু নির্ণয়ের পদ্ধতি তিনটি হল –
- গুণিতকের সাহায্যে লসাগু নির্ণয়।
- মৌলিক উৎপাদকের সাহায্যে ল সা গু নির্ণয়।
- ভাগ পদ্ধতি বা সংক্ষিপ্ত পদ্ধতির সাহায্যে লসাগু নির্ণয়।
গুণিতকের সাহায্যে লসাগু বের করার নিয়ম ?
প্রশ্নে যদি জিজ্ঞেস করা হয় গুণিতকের সাহায্যে ল সা গু নির্ণয় করো। তবে নিচে দেওয়া ধাপগুলি অনুসরণ করে খুব সহজে যে কোনো সংখ্যার লসাগু বের করতে পারবে। গুণিতকের সাহায্যে লসাগু বের করার নিয়মগুলি হল –
- প্রথমে যে সংখ্যাগুলির লসাগু নির্ণয় করতে বলবে তাদের গুণিতক গুলি বের করো।
- তারপর সাধারণ গুনিতক খুঁজে বের করো।
- অবশেষে, সবচেয়ে ছোট সাধারণ গুণিতক হবে লসাগু।
প্রশ্নঃ ৫ ও ৬ এর গসাগু নির্ণয় করো ?
উত্তরঃ ৫ এর গুণিতকগুলি হল – ৫, ১০, ১৫, ২০, ২৫, ৩০, ৩৫, ৪০, ৪৫, ৫০, ৫৫, ৬০, ৬৫, ৭০,… ইত্যাদি।
৬ এর গুণিতকগুলি হল – ৬, ১২, ১৮, ২৪, ৩০, ৩৬, ৪২, ৪৮, ৫৬, ৬০, ৬৬, ৭২, ৭৮,… ইত্যাদি।
৫ ও ৬ এর সাধারণ গুণনীয়ক গুলি হল – ৩০, ৬০, ৯০, ১২০,… ইত্যাদি।
আমরা জানি সবচেয়ে ছোট সাধারণ গুণিতককে লসাগু বলা হয়।
সুতরাং, ৫ ও ৬ এর লসাগু = ৩০.
প্রশ্নঃ গুণিতকের সাহায্যে ২, ৩ ও ৪ এর লসাগু নির্ণয় করো ?
উত্তরঃ ২ এর গুণিতক গুলি হল – ২, ৪, ৬, ৮, ১০, ১২, ১৪, ১৬, ১৮, ২০, ২২, ২৪,… ইত্যাদি।
৩ এর গুণিতকগুলি হল – ৩, ৬, ৯, ১২, ১৫, ১৮, ২১, ২৪, ২৭,… ইত্যাদি।
৪ এর গুণিতক গুলি হল- ৪, ৮, ১২, ১৬, ২০, ২৪, ২৮,…. ইত্যাদি।
২, ৩ ও ৪ এর সাধারণ গুণিতকগুলি হল – ১২, ২৪, ৩৬,… ইত্যাদি।
আমরা জানি, সবচেয়ে ছোট সাধারণ গুণিতক কে ল সা গু বলা হয়।
সুতরাং, ২, ৩ ও ৪ এর লসাগু = ১২,
মৌলিক উৎপাদকের সাহায্যে লসাগু নির্ণয়ের পদ্ধতি ?
ইতিমধ্যেই আমরা লসাগু কাকে বলে এবং গুণিতকের সাহায্যে লসাগু নির্ণয় করার পদ্ধতি বিস্তারিত ভাবে জেনেছি। এখন আমরা জানবো মৌলিক উৎপাদক বা prime factorizations পদ্ধতির সাহায্যে কিভাবে লসাগু নির্ণয় করতে হয়।
মৌলিক উৎপাদকের সাহায্যে লসাগু নির্ণয়ের প্রথম পদ্ধতি নিম্নে তুলে ধরা হল –
- প্রথমে যে সংখ্যাগুলির lcm নির্ণয় করতে হবে সেই সংখ্যাগুলিকে মৌলিক উৎপাদকে ভেঙ্গে লিখবে।
- তারপর প্রত্যেক মৌলিক উৎপাদকের সর্বোচ ঘাত নিয়ে গুন্ করুন।
- অবশেষে, মৌলিক উৎপাদকের সর্বোচ ঘাতের গুনফল হবে নির্ণেয় লসাগু।
মৌলিক উৎপাদকের সাহায্যে লসাগু নির্ণয়ের দ্বিতীয় পদ্ধতি নিম্নে তুলে ধরা হল-
- প্রথমে যে সংখ্যাগুলির lcm নির্ণয় করতে হবে সেই সংখ্যাগুলিকে মৌলিক উৎপাদকে ভেঙ্গে লিখবে।
- তারপর প্রথম সংখ্যার মৌলিক উৎপাদকগুলিকে গুন্ আকারে লিখবে।
- তারপর বাকি সংখ্যাগুলির যে উৎপাদকগুলি লেখা হয়নি তাদের গুন্ আকারে লিখবে।
- অবশেষে, মৌলিক উৎপাদক গুলির গুনফল হবে লসাগু।
প্রশ্নঃ মৌলিক উৎপাদকের সাহায্যে ৮, ১২ ও ১৫ এর লসাগু নির্ণয় করো ?
উত্তরঃ প্রথম পদ্ধতি : প্রথমে ৮, ১২ ও ১৫ কে মৌলিক উৎপাদকের আকারে লিখবে।
৮ = ২×২×২ = ২^৩
১২ = ২×২×৩ = ২^২ × ৩
১৫ = ৩×৫
এখানে আমরা মোট তিনটি মৌলিক উৎপাদক ২, ৩ ও ৫ পেয়েছি। ভালোভাবে লক্ষ্য করলে দেখতে পাবে ২ এর সর্বোচ্চ ঘাত ৩ এবং ৩ ও ৫ এর সর্বোচ্চ ঘাত ১.
সুতরাং ৮, ১২ ও ১৫ এর লসাগু = ২^৩ × ৩×৫ = ৮×৩×৫ = ১২০
দ্বিতীয় পদ্ধতি,
প্রথমে ৮, ১২ ও ১৫ কে মৌলিক উৎপাদকের আকারে লিখবে।
৮ = ২×২×২
১২ = ২×২×৩
১৫ = ৩×৫
এখন লসাগু নির্ণয়ের জন্য প্রথমে ৮ এর উৎপাদক গুলি কে লিখবো।
তারপর ১২ এর উৎপাদকে দুটি ২ এবং একটি ৩ রয়েছে। যেহেতু আমরা আগেই তিনটি ২ লিখেছি সেহেতু ২ লেখার প্রয়োজন নেই। আমরা কেবলমাত্র ৩ গুন্ করবো।
তারপর ১৫ এর উৎপাদকে একটি ৩ আছে যা আগেই লেখা হয়ে গেছে এবং ৫ লিখতে বাকি আছে সেহেতু আমরা ৫ গুন্ করবো।
অবশেষে, লসাগু = ২×২×২×৩×৫ = ১২০
ভাগ পদ্ধতির সাহায্যে ল সা গু নির্ণয়ের পদ্ধতি ?
LCM নির্ণয়ের ভাগ পদ্ধতিকে lcm বের করার সংক্ষিপ্ত পদ্ধতি ও বলা হয়। এই পদ্ধতির সহজে বড়ো বড়ো সংখ্যার লসাগু কম সময়ে এবং সহজে করতে পারবে। যদি প্রশ্নে উল্লেখ করা না থাকে কোন পদ্ধতির সাহায্যে লসাগু বের করতে হবে তবে আমি তোমাদের বলবো, তোমরা এই সংক্ষিপ্ত পদ্ধতির সাহায্যে ল সা গু নির্ণয় করবে।
ভাগ পদ্ধতি বা সংক্ষিপ্ত পদ্ধতির সাহায্যে lcm নির্ণয়ের জন্য নিচে দেওয়া ধাপগুলি অনুসরণ করবে –
- প্রথমে যে সংখ্যাগুলির লসাগু বের করবে, সেগুলিকে একটি লাইনে কমা দিয়ে আলাদা করে লিখবে।
- তারপর মৌলিক সংখ্যা ২, ৩, ৫,.. ইত্যাদি সংখ্যা দিয়ে ভাগ করবে।
- ভাগ করার সময় খেয়াল রাখবে যে মৌলিক সংখ্যা দিয়ে কম করে দুটো সংখ্যাকে ভাগ করা যাবে, সেই মৌলিক সংখ্যা দিয়ে ভাগ দিবে।
- এই পদ্ধতি বার বার করতে থাকবে যতক্ষণ পর্যন্ত পরস্পর মৌলিক সংখ্যা অথবা ১ পাওয়া যায়।
- অবশেষে, যে সংখ্যাগুলি দিয়ে এতক্ষন ভাগ করেছো, তাদের গুনফল হবে নির্ণেয় ল সা গু।
প্রশ্নঃ ভাগ পদ্ধতিতে ১২ ও ১৫ এর লসাগু নির্ণয় করো ?
উত্তরঃ
অতএব, নির্ণেয় লসাগু = ২×২×৩×৫ = ৬০
- প্রথমে ১২ ও ১৫ কে কমা দিয়ে আলাদা করে লিখলাম।
- তারপর ২ দিয়ে ভাগ করলাম। ১২ কে ২ দিয়ে ভাগ করে ৬ পেলাম কিন্তু ১৫ কে ২ দিয়ে ভাগ করা যাবে না, তাই নিচে ১৫ বসলাম।
- আবার ২ দিয়ে ভাগ দিলাম। ৬ কে ২ দিয়ে ভাগ করে ৩ পেলাম কিন্তু ১৫ কে ২ দিয়ে ভাগ করা যাবে না, তাই নিচে ১৫ বসলাম।
- এখন, ৩ দিয়ে ভাগ দিলাম। ৩ কে ৩ দিয়ে ভাগ করে ১ এবং ১৫ কে ৩ দিয়ে ভাগ করে ৫ পেলাম। তাই নিচে ১ ও ৫ বসলাম।
- অবশেষে, ৫ দিয়ে ভাগ করলাম। ১ বসে যাবে এবং ৫ কে ৫ দিয়ে ভাগ করে ১ পেলাম। তাই নিচে ১ বসলাম।
- অবশেষে সব উৎপাদকগুলিকে গুন্ করলাম আর এই গুনফল হল নির্ণেয় লসাগু।
ভগ্নাংশের লসাগু বের করার নিয়ম ?
ইতিমধ্যেই আমরা লসাগু কাকে বলে এবং লসাগু নির্ণয়ের পদ্ধতি গুলি বিস্তারিত ভাবে জেনেছি। এখন আমরা জানবো ভগ্নাংশের লসাগু কিভাবে করতে হয়। যেকোনো ভগ্নাংশের লসাগু নির্ণয়ের জন্য নিচে দেওয়া ধাপগুলি অনুসরণ করুন।
- প্রথমে লব গুলির লসাগু বের করবে।
- তারপর হর গুলির গসাগু নির্ণয় করবে।
- অবশেষে, লসাগু কে গসাগু দিয়ে ভাগ করবে অথবা ভগ্নাংশের আকারে লিখবে।
প্রশ্নঃ ২/৫, ৪/১৫ এবং ৫/২০ ভগ্নাংশ গুলির লসাগু নির্ণয় করো ?
উত্তরঃ প্রথমে লব গুলির লসাগু করবে।
২, ৪, ৫ এর ল সা গু = ২০.
তারপরে হর গুলির গসাগু করবে।
৫, ১৫ ও ২০ এর গ সা গু = ৫.
অবশেষে লসাগু কে গসাগু দিয়ে ভাগ করবে।
সুতরাং, ২/৫, ৪/১৫ এবং ৫/২০ এর লসাগু = ২০/৫ = ৪.
মৌলিক সংখ্যার লসাগু নির্ণয় ?
আমরা জানি, মৌলিক সংখ্যাগুলিকে ভাঙ্গা যায় না। তাই মৌলিক সংখ্যার ল সা গু নির্ণয়ের জন্য মৌলিক সংখ্যা দুটিকে গুন্ করতে হবে।
অর্থাৎ, মৌলিক সংখ্যার লসাগু = সংখ্যাদুটির গুণফল।
উদাহরণস্বরূপ, ৫ ও ৭ দুটি মৌলিক সংখ্যা। তাই ৫ ও ৭ এর লসাগু বের করার জন্য এদের গুন্ করতে হবে। সুতরাং, ৫ ও ৭ এর লসাগু = ৫×৭ = ৩৫.
কিছু গুরুত্বপূর্ণ প্রশ্ন উত্তর
প্রশ্নঃ লসাগু কাকে বলে ?
উত্তর : সবচেয়ে ছোট সাধারণ গুণিতক কে লসাগু বলা হয়।
প্রশ্নঃ লসাগু এর পূর্ণরূপ কি ?
উত্তরঃ লঘিষ্ঠ সাধারণ গুণিতক।
প্রশ্নঃ গুণিতক কাকে বলে ?
উত্তরঃ যে কোনো সংখ্যাকে পূর্ণ সংখ্যা দিয়ে গুণ করলে যে গুনফল পাওয়া যায়, তাদের ওই সংখ্যার গুণিতক বলা হয়।
প্রশ্নঃ সাধারণ গুণিতক কাকে বলে?
উত্তরঃ দুই বা দুই এর বেশি সংখ্যার গুণিতক গুলির মধ্যে যে গুণিতক গুলির মিল পাওয়া যায়, সেই সংখ্যাগুলিকে সাধারণ গুণিতক বা common multiple বলা হয়।
প্রশ্ন: দুটি মৌলিক সংখ্যার লসাগু কত ?
উত্তরঃ সংখ্যাদুটির গুণফল।
প্রশ্নঃ দুটি পরস্পর মৌলিক সংখ্যার লসাগু কত ?
উত্তরঃ সংখ্যাদুটির গুনফল।
আরও পড়ুনঃ