সরলরেখার সমীকরণ: কোনো নির্দিষ্ট বিন্দু থেকে দিক পরিবর্তন না করে সমতলে গতিশীল থাকলে তার সঞ্চারপথকে সরলরেখা বলা হয় এবং সঞ্চার পথের সমীকরণকে সরলরেখার সমীকরণ বলা হয়। একটি সরলরেখার সাধারণ সমীকরণ হল y = mx + c, যেখানে m হল সরলরেখার ঢাল বা নতি এবং c হল y-ইন্টারসেপ্ট।
আমরা একটি গতিশীল বিন্দুর দিক বিভিন্ন পদ্ধতিতে নিৰ্দিষ্ট করে থাকি। তাই একটি সরল রেখার সমীকরণকে বিভিন্ন আকারে লেখা যায়।
সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয়ের সূত্র – বিস্তারিত ধারণা। Equation of Straight Line
একটি সরল রেখার সমীকরণ কে খুব সহজে একটি অন্য আকারে রূপান্তরিত করা যায়। তাই সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় করার আগে সরলরেখার আনতি এবং ঢাল বা নতি কি তা জানা উচিত।
আনতি (Inclination) কাকে বলে?
কোনো সরলরেখা ধনাত্মক x – অক্ষের সঙ্গে যে কোণে নত থাকে তাকে সরলরেখার আনতি (ইনক্লিনেশন) বলা হয়। কোনো সরলরেখার আনতি সর্বদা ধনাত্মক x – অক্ষ থেকে ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে পরিমাপ করতে হয়।
ঢাল (Slope) বা নতি বলতে কি বোঝো ?
কোনো সরলরেখা x -অক্ষের ধনাত্মক দিকের সঙ্গে যে কোণ উৎপন্ন করে তার tan এর মানকে সরলরেখার ঢাল (Slope) বা নতি বলে। অর্থাৎ, সরলরেখার আনতির tan -এর মান কে ঢাল বলা হয়।
উদাহরণস্বরূপ, যদি কোনো সরলরেখা x – অক্ষের সঙ্গে 𝛳 কোণ উৎপন্ন করে তবে তার নতি (slope) হবে tan𝛳.
সরলরেখার নতি বা ঢাল কে অনেকে প্রবণতা (Gradient) বলে থাকে। সরলরেখার প্রবণতাকে সাধারণত m – অক্ষর দিয়ে প্রকাশ করা হয়। নিম্নে কিছু প্রবণতা দেওয়া হল।
ঢাল (m) = প্রদত্ত বিন্দু দুটির কোটির অন্তর /প্রদত্ত বিন্দু দুটির ভুজের অন্তর
- x অক্ষ অথবা x অক্ষের সমান্তরাল সরলরেখার ঢাল সর্বদা ০ হয়।
- মূলবিন্দু ও (a,b) বিন্দুর সংযোজক প্রবণতা সর্বদা b/a হয়।
- y -অক্ষ অথবা y – অক্ষের সমান্তরাল সরলরেখার ঢাল অসঙ্গাত।
- দুটি সমান্তরাল সরলরেখার ঢাল সর্বদা সমান হয়।
সরলরেখার সমীকরণ বলতে কি বোঝায়?
দুই চল বিশিষ্ট রৈখিক সমীকরণ সর্বদা সরলরেখার সমীকরণ কে নির্দেশ করে যা সরলরেখায় অবস্থিত x ও y এর সমস্ত মানের জন্য সন্তত হয়। অর্থাৎ সরলরেখার সমীকরণ এমন একটি গাণিতিক সমীকরণ যা সরলরেখায় অবস্থিত স্থানাঙ্ক গুলিতে সন্তত হয়।
একটি সরলরেখার সবচেয়ে সাধারণ আকারের সমীকরণ হল –
ax + by + c = 0
সরলরেখা সমীকরণ নির্ণয়ের সূত্র?
আজকের টিউটোরিয়ালের মূল আলোচ্য বিষয় হল সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় করা। নিম্নে সরলরেখার বিভিন্ন আকারের সমীকরণগুলি নির্ণয় করার প্রক্রিয়া গুলি তুলে ধরা হল।
x-অক্ষ ও x-অক্ষের সমান্তরাল সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় ?
আমরা জানি, x -অক্ষের উপরে যেকোনো বিন্দুর কোটির মান সর্বদা 0 হয়। অর্থাৎ x -অক্ষের উপরে অবস্থিত সকল বিন্দুর ক্ষেত্রে y = 0 হয়।
সুতরাং, x -অক্ষের উপর সরলরেখার সমীকরণ হল, y = 0.
আবার, প্রদত্ত চিত্রে AB হল x -অক্ষের সমান্তরাল একটি সরলরেখা এবং x -অক্ষ থেকে AB সরলরেখার দূরত্ব b একক। এখান থেকে স্পষ্টরূপে বোঝা যায় AB সরলরেখার উপরে অবস্থিত প্রত্যেক বিন্দুর কোটি b হবে।
অর্থাৎ AB সরলরেখার উপরে অবস্থিত প্রত্যেকটি বিন্দু y = b শর্তটি মেনে চলে।
সুতরাং, x -অক্ষের সমান্তরাল ও x -অক্ষ থেকে b একক দূরে অংকিত সরলরেখার সমীকরণ হল, y = b.
y-অক্ষ ও y-অক্ষের সমান্তরাল সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় ?
আমরা জানি, y -অক্ষের উপরে যেকোনো বিন্দুর ভুজের মান সর্বদা 0 হয়। অর্থাৎ y -অক্ষের উপরে অবস্থিত সকল বিন্দুর ক্ষেত্রে x = 0 হয়।
সুতরাং, y -অক্ষের উপর সরলরেখার সমীকরণ হল, x = 0.
আবার, প্রদত্ত চিত্রে CD হল y -অক্ষের সমান্তরাল একটি সরলরেখা এবং y -অক্ষ থেকে CD সরলরেখার দূরত্ব a একক। এখান থেকে স্পষ্টরূপে বোঝা যায় AB সরলরেখার উপরে অবস্থিত প্রত্যেক বিন্দুর কোটি b হবে।
অর্থাৎ AB সরলরেখার উপরে অবস্থিত প্রত্যেকটি বিন্দু x = a শর্তটি মেনে চলে।
সুতরাং, y -অক্ষের সমান্তরাল ও y -অক্ষ থেকে a একক দূরে অংকিত সরলরেখার সমীকরণ হল, x = a.
মূলবিন্দু গামী সরলরেখার সমীকরণ?
প্রদত্ত চিত্রানুযায়ী, মূলবিন্দুগামী সরলরেখা AB এর উপরে যেকোনো বিন্দু P (x,y ) নেওয়া হয়েছে। তারপর P বিন্দু থেকে x -অক্ষের উপরে PL লম্ব অঙ্কন করলাম।
ধরি, AB সরলরেখা x -অক্ষের সঙ্গে 𝛳 কোণে নত আছে।
সুতরাং, AB সরলরেখার ঢাল = tan𝛳 = m (ধরি)
PLO সমকোণী ত্রিভুজ থেকে পাই,
PL/OL = tan𝛳
=> y/x = m
∴ y = mx
ইহাই মূলবিন্দু গামী straight line এর equation.
সরলরেখার প্রবণতা চেদীতাংশ আকার (Slope intercept form)
এখানে আমাদের যে সরলরেখা x অক্ষের ধনাত্মক দিকের সঙ্গে একটি নির্দিষ্ট কোণে নত থাকে এবং y অক্ষ থেকে নির্দিষ্ট অংশ ছিন্ন করে এমন সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় করতে হবে।
ধরি, AB সরলরেখা x ও y অক্ষ কে যথাক্রমে D ও C বিন্দুতে ছেদ করেছে। যদি সরলরেখা AB, x -অক্ষের সঙ্গে 𝛳 কোণ উৎপন্ন করে এবং OC = c হয়। তবে আমাদের AB সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় করতে হবে।
প্রদত্ত চিত্রানুযায়ী,
CE।।DM , সুতরাং, ∠PCE = ∠CDM = 𝛳
আবার, PM = y এবং OC = c
∴ PE = PM – EM = PM – CO = y – c এবং CE=OM=x
PCE সমকোণী ত্রিভুজ থেকে পাই,
tan𝛳 = PE/CE = (y-c)/x
যদি tan𝛳 = m ধরা হয়, তবে
m = (y-c)/x
∴ y = mx + c
AB সরলরেখার উপরে অবস্থিত যে কোনো বিন্দুর ক্ষেত্রে ইহা সত্য। সুতরাং , এটিই নির্ণয় AB সরলরেখার সমীকরণ।
সরলরেখার বিন্দু প্রবণতা আকার (Point-slope form)
এখানে আমাদের যে সরলরেখা x -অক্ষের সঙ্গে 𝛳 কোণে নত আছে এবং একটি নির্দিষ্ট বিন্দুর উপর দিয়ে গেছে এমন সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় করতে হবে।
ধরি AB সরলরেখা x অক্ষের ধনাত্মক দিকের সঙ্গে 𝛳 কোণে নত আছে এবং সরলরেখাটি Q(x1, y1 ) বিন্দুর উপর দিয়ে গিয়েছে। এখন আমাদের AB সরলরেখার equation নির্ণয় করতে হবে।
আবার, মনে করি, P (x,y) বিন্দুটি AB সরলরেখার উপরে অবস্থিত এবং Q (x1, y1 ) বিন্দুটিও AB সরলরেখার উপরে অবস্থিত।
সুতরাং, AB সরলরেখার ঢাল বা নতি = (y-y1)/(x-x1)
আবার, যেহেতু AB সরলরেখা ক্স-অক্ষের সঙ্গে 𝛳 কোণে নত আছে, সেহেতু
ঢাল = tan𝛳 = m
∴ (y-y1)/(x-x1) = m
∴ y – y1 = m(x – x1)
AB সরলরেখার উপরে অবস্থিত যে কোনো বিন্দুর ক্ষেত্রে ইহা সত্য।
সুতরাং , এটিই নির্ণয় AB সরলরেখার সমীকরণ।
সরলরেখার ছেদিতাংশ আকার (Intercept form)
ধরি, LM সরলরেখা x ও y অক্ষ কে যথাক্রমে A ও B বিন্দুতে ছেদ করেছে। যেখানে OA = a একক এবং OB = b একক। এখানে আমাদের LM সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় করতে হবে।
প্রদত্ত চিত্রে, LM সরলরেখার উপরে P (x,y) যেকোনো একটি বিন্দু। এখন P থেকে OA এর উপরে PN লম্ব অঙ্কন করলাম।
প্রদত্ত চিত্রানুযায়ী,
PN = y এবং ON = x
∴ NA = OA – ON = a – x
প্রদত্তচিত্রে, ▲PNA ও ▲BOA পরস্পর সদৃশ ত্রিভুজ।
∴ PN/OB = NA/OA
y/b = (a-x)/a = 1-(x/a)
∴ x/a + y/b = 1
এটিই নির্ণয় সরলরেখার equation .
দুই বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ ?
ধরি (x1,y1) ও (x2,y2) দুটি প্রদত্ত বিন্দু এখানে আমাদের দুটি বিন্দুগামী straight line এর equation নির্ণয় করতে হবে।
আবার ধরি, A (x1,y1) ও B (x2,y2) এবং P (x,y) নির্নয় সরলরেখার উপর যে কোনো একটি বিন্দু।
AB সরলরেখার ঢাল = (y1-y2)/(x1-x2)
AP সরলরেখার ঢাল = (y-y1)/(x-x1)
যেহেতু, A, B ও P বিন্দু তিনটি সমরেখ। সুতরাং, AP ও AB সরলরেখা দুটির ঢাল সমান।
∴ (y-y1)/(x-x1) = (y1-y2)/(x1-x2)
ইহাই A ও B বিন্দুগামী straight line এর সমীকরণ।
একটি সরলরেখার উপর লম্ব রেখার সমীকরণ (Normal Form)
ধরি, LM সরলরেখার উপরে O মূলবিন্দু থেকে ON লম্ব টানা হল। যেখানে ON = p এবং ㄥNOX = a . এখন আমাদের LM সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় করতে হবে।
ONA সমকোণী ত্রিভুজ থেকে পাই,
ON/OA = cosα
=> p/OA = cosα
=> OA = p/cosα
আবার, ONB সমকোণী ত্রিভুজ থেকে পাই,
ON/OB = sinα
বা, OB = p/sinα
সুতরাং, LM সরলরেখার নির্ণেয় সমীকরণ হল
x/OA + y/OB = 1
বা, xcosα/p + ysinα/p = 1
xcosα + ysinα = p
ইহাই একটি সরলরেখার উপর লম্ব রেখার সমীকরণ
আশাকরি এই আর্টিকেলটি সম্পূর্ণ পড়ার পর খুব সহজে straight line এর সমীকরণ নির্ণয় করতে পারবে। যদি কোনো প্রশ্ন থাকে তবে অবশ্যই কমেন্ট করে জানাবেন।
আরও পড়ুনঃ